Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39878

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a + b + c = 3. Chứng minh rằng: \frace_a\left( {a + c - 2b} \right)e_ab + 1 + \frace_b\left( {b + a - 2c} \right)e_bc + 1 + \frace_c\left( {c + b - 2a} \right)e_ca + 1  ≥ 0 

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a + b + c = 3. Chứng minh rằng: \frace_a\left( {a + c - 2b} \right)e_ab + 1 + \frace_b\left( {b + a - 2c} \right)e_bc + 1 + \frace_c\left( {c + b - 2a} \right)e_ca + 1  ≥ 0 


A.
Click vào đáp án để xem 
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Bất đẳng thức trên

<=> \frac{a(1-b)}{ab+1} + 1 + \frac{b(1-c)}{bc+1} + 1 + \frac{c(1-a)}{ca+1} + 1 ≥ 3

<=> \frac{a+1}{ab+1} + \frac{b+1}{bc+1} + \frac{c+1}{ca+1} ≥ 3 (*)

 

Ta có: VT(*) ≥ 3\sqrt[3]e_\frace_\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)e_\left( {ab + 1} \right)\left( {bc + 1} \right)\left( {ca + 1} \right)

Ta sẽ chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1)

<=> abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1

≥ a2b2c2 + abc(a + b + c) + ab + bc + ca + 1

<=> 3 ≥ a2b2c2 + 2abc  (**)

Theo Cosi:  3 = a + b + c ≥ 3\sqrt[3]{abc}  => \sqrt[3]{abc} ≤ 1 => abc  ≤ 1

Vậy (**) đúng => (*) đúng.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết