Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39842

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. SA vuông góc với đáy, SA = a, AB = 2AD, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD) bằng 600. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD và CD. Tính thể tích khối tứ diện OMNP theo a. (a > 0).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. SA vuông góc với đáy, SA = a, AB

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. SA vuông góc với đáy, SA = a, AB = 2AD, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD) bằng 600. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD và CD. Tính thể tích khối tứ diện OMNP theo a. (a > 0).


A.
 VOMNP = \frac{5}{188}a3 (đvtt)
B.
 VOMNP = \frac{5}{288}a3 (đvtt)
C.
 VOMNP = \frac{4}{288}a3 (đvtt)
D.
 VOMNP = \frac{4}{388}a3 (đvtt)
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

+ Hình vẽ:

Đặt AD = x. Suy ra AB = 2x (x > 0)

Gọi AH là đường cao ∆ABD.

Ta có: \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AD^{2}} + \frac{1}{AB^{2}} = \frac{5}{4x^{2}}

→ AH = \frac{2x}{\sqrt{5}}

Mặt khác: BD ⊥ AH  và BD ⊥ SA → BD ⊥ (SAH)→ BD ⊥ SH

Vậy góc giữa (ABCD) và (SBD) bằng góc \angleSHA và bằng 600.

Khi đó: AH = \frac{SA}{tan 60^{0}} = \frac{a}{\sqrt{3}}

Vậy nên: \frac{2x}{\sqrt{5}} = \frac{a}{\sqrt{3}} → x = \sqrt{\frac{5}{12}}a

Suy ra: AD = \sqrt{\frac{5}{12}}a; AB = 2.\sqrt{\frac{5}{12}}a

Ta có: VC.SBD  = VS.BCD =   \frac{1}{3}.SA.\frac{1}{2}.SABCD = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{5}{12}}a.2.\sqrt{\frac{5}{12}}a = \frac{5}{36}a3.

Vì P là trung điểm DC nên: 2d(P, (SBD)) = d(C,(SBD)).

Vì M, N, O lần lượt là trung điểm của các cạnh tam giác SBD nên:

dt (∆SBD) = 4.dt(∆OMN)

Ta có: \frac{V_{P.OMN}}{V_{C.SBD}} = \frac{\frac{1}{3}d(P,(OMN)).S_{OMN}}{\frac{1}{3}d(C,(SBD)). S_{SBD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{8}

→ VP.OMN = \frac{1}{8}. VC.SBD = \frac{1}{8}.\frac{5}{36}a3 

=  \frac{5}{288}a3(đvtt).

Vậy thể tích cần tính là: VOMNP = \frac{5}{288}a3(đvtt).

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết