Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39834

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5 và góc BAC = 1200. Gọi K là trung điểm của cạnh CC’. 1. Tính thể tích khối chóp A.A’BK. 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK. Gọi I là trung điểm của BB’. Tính khoảng cách từ điểm I đến (A’BK).

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5 và góc BAC = 1200. Gọi

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5 và góc BAC = 1200. Gọi K là trung điểm của cạnh CC’.

1. Tính thể tích khối chóp A.A’BK.

2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK. Gọi I là trung điểm của BB’. Tính khoảng cách từ điểm I đến (A’BK).


A.
VA.A’BK = \frac{a^3\sqrt{15}}{12}, R = \frac{a\sqrt{21}}{2},  d(I,(A'BK)) = \frac{a\sqrt{5}}{6}
B.
VA.A’BK = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}, R =  \frac{a\sqrt{21}}{3},  d(I,(A'BK)) = \frac{a\sqrt{5}}{6}
C.
VA.A’BK = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}, R = \frac{a\sqrt{21}}{2},  d(I,(A'BK)) =  \frac{a\sqrt{5}}{5}
D.
VA.A’BK = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}, R = \frac{a\sqrt{21}}{2},  d(I,(A'BK)) = \frac{a\sqrt{5}}{6}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

1.  Tính thể tích khối chóp A.A’BK.

Do CK // (AA'B) nên ta có 

VA.A’BK = VK.AA’B = VC.AA’B = VA’.ABC = \frac{1}{3}. SABC. AA’. 

SABC = \frac{1}{2} AB.AC. sin1200 =  \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}

Vậy VA.A’BK = \frac{1}{3} . \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}. 2a√5 = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}

2. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK.

Tam giác ABC có 

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC. cos1200 = 7a2 

BK2 = BC2 + CK2 = 7a2 + (a√5)2 = 12a2

A’K2 = A’C’2 + C’K2 = 4a2 + 5a2 = 9a2

A’B2 = AA’2 + AB2 = 21 a2  => A’B2 = A’K2 + BK2 => tam giác A’BK vuông tại K.

Ta có \widehat{A'KB}  = \widehat{A'B'B} = 900

=>  4 điểm A’, B, K, B’ nằm trên mặt cầu đường kính A’B.

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK có tâm E là trung điểm A’B và bán kính

R = \frac{1}{2} A’B = \frac{a\sqrt{21}}{2}.

*Tính khoảng cách từ I đến (A'BK)

Gọi F là trung điểm của A'B' => IF // (A'BK) => d(I, (A'BK)) = d(F, (A'BK))

Do E là trung điểm của AB' => d(F, (A'BK)) = \frac{1}{2} d(B',(A'BK)) = \frac{1}{2} d(A,(A'BK))

Tam giác A'BK có BK ⊥ A'K => SA’BK = \frac{1}{2}A’K. BK = \frac{1}{2}. 3a. 2a√3 = 3a2√3

VA.A’BK = \frac{1}{3}. SA’BK. d(A,(A'BK)) => d(A,(A'BK)) = \frac{a\sqrt{5}}{3}.

Vậy d(I,(A'BK)) = \frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{5}}{3} =  \frac{a\sqrt{5}}{6}.

 

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết