Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39228

Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z - x - y) = x + y + 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = \frac{x^{4}y^{4}}{(x+yz).(y+zx).(z+xy)^{3}}

Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z - x - y) = x + y + 1 Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z - x - y) = x + y + 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = \frac{x^{4}y^{4}}{(x+yz).(y+zx).(z+xy)^{3}}


A.
 Max T = 1 
B.
 Max T = \frac{3^{6}}{4^{9}} 
C.
 Max T = \frac{3^{6}}{4^{5}} 
D.
 Max T =  \frac{3^{5}}{4^{9}} 
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì z(z - x - y ) = x + y + 1 => (z + 1)(x + y) = z2 - 1 và do z > 0 nên ta có:

x + y + 1 = z

Khi đó: T = \frac{x^{4}y^{4}}{(x+y)(1+y)(x+y)(1+x)[(x+1)(y+1)]^{3}}

= \frac{x^{4}y^{4}}{(x+y)^{2}.[(x+1)(y+1)]^{4}}

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương x, y ta có:

(x + 1)4 = (\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+1)^{4} ≥ (4\sqrt[4]{\frac{x^{3}}{27}})^{4} = 44. \frac{x^{3}}{27}

(y + 1)4 = (\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+1)^{4} ≥ (4\sqrt[4]{\frac{y^{3}}{27}})^{4} = 44. \frac{y^{3}}{27}, (x + y)2 ≥ 4xy

Do đó (x + y)2.[(x + 1)(y + 1)]4 ≥ 4xy.48.\frac{x^{3}.y^{3}}{3^{6}} = \frac{4^{9}}{3^{6}}.x4.y4.

Suy ra T ≤ \frac{3^{6}}{4^{9}} (*)

Dấu = ở (*) xảy ra khi \left\{\begin{matrix} \frac{x}{3}=\frac{y}{3}=1\\ z=x+y+1 \end{matrix}\right.⇔ x = 3, y = 3, z = 7

Vậy Max T = \frac{3^{6}}{4^{9}} khi x = 3, y = 4, z = 7

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết