Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' = 2a; AB = AC = a (a > 0) và góc giữa cạnh bên AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC) theo a biết rằng hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC.
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' = 2a; AB = AC = a (a > 0) và góc giữa cạnh bên AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC) theo a biết rằng hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC.
; d = 
; d = 
; d = 
; d = 
Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Theo bài ra góc giữa cạnh bên AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60o nên góc A'AH = 60o và do AA'= 2a nên A'H= a√3 là một đường cao của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và AH = a.
Mặt khác tam giác ABC cân tại A nên nếu gọi M là trung điểm của cạnh BC thì đoạn AM là 1 đường cao của tam giác ABC và AM < AC = AB = AH = a nên H nằm ngoài tam giác ABC và nằm trên tia đối của tia AM suy ra A là trọng tâm của tam giác HBC.
Khi đó ta có AM = 
=> BC= 2MC = a√3
=> SABC = 
.BC.AM = 
Thể tích khối lăng trụ đã cho là: V = A'H SABC =
Nối A'M ,ta có (A'HM) ⊥ BC khi đó kẻ HK ⊥ A'M, K ∈ A'M thì HK ⊥ (A'BC) nên d(H; (A'BC)) = HK. Ta có:
=>....=> HK = 
Suy ra khoảng cách d(H, (A'BC)) =
Ta lại có 
= 
= 3
Vậy khoảng cách d(A; (A'BC)) = .
Theo bài ra góc giữa cạnh bên AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60o nên góc A'AH = 60o và do AA'= 2a nên A'H= a√3 là một đường cao của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và AH = a.
Mặt khác tam giác ABC cân tại A nên nếu gọi M là trung điểm của cạnh BC thì đoạn AM là 1 đường cao của tam giác ABC và AM < AC = AB = AH = a nên H nằm ngoài tam giác ABC và nằm trên tia đối của tia AM suy ra A là trọng tâm của tam giác HBC.
Khi đó ta có AM = => BC= 2MC = a√3
=> SABC = .BC.AM =
Thể tích khối lăng trụ đã cho là: V = A'H SABC =
Nối A'M ,ta có (A'HM) ⊥ BC khi đó kẻ HK ⊥ A'M, K ∈ A'M thì HK ⊥ (A'BC) nên d(H; (A'BC)) = HK. Ta có:
=>....=> HK =
Suy ra khoảng cách d(H, (A'BC)) =
Ta lại có = = 3
Vậy khoảng cách d(A; (A'BC)) = .
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Cho hàm số y =
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất. -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=
+
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
+
+2(x+1)(y+1)+8
-
Tính tích phân I=
-
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy. -
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
.