Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 38095

Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: \tiny \left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+\frac{1}{c} \right )\left ( c+\frac{1}{a} \right )\geq \left ( \frac{10}{3} \right )^{3}

Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1.

Chứng minh rằng: \tiny \left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+\frac{1}{c} \right )\left ( c+\frac{1}{a} \right )\geq \left ( \frac{10}{3} \right )^{3}


A.
  Click để xem đáp án
B.
  Click để xem đáp án
C.
   Click để xem đáp án
D.
 Click để xem đáp án
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì a + b + c = 1 nên M = \tiny \left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+\frac{1}{c} \right )\left ( c+\frac{1}{a} \right ) = abc +\frac{1}{abc}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \frac{1}{3}=\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}

Lại có: abc +\frac{1}{abc}=\left ( abc+\frac{1}{27^{2}abc} \right )+\frac{27^{2}-1}{27^{2}abc}\geq 2\sqrt{abc.\frac{1}{27^{2}abc}}+\frac{27^{2}-1}{27}=\frac{730}{27}

Mặt khác: \tiny (a +b+c)\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )\geq 9\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9

Suy ra M \tiny M\geq \frac{730}{27}+9+1=\frac{1000}{27}

Vậy \left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+\frac{1}{c} \right )\left ( c+\frac{1}{a} \right )\geq \left ( \frac{10}{3} \right )^{3}(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a \tiny \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết