Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 38080

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, mặt phẳng (SCD) hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc \varphi sao cho cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{7}} . Biết rằng  SA = SC = SD, AB = BC = a, AD = 2a.           a. Tính thể tích của khối chóp theo a.  b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD  và góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, mặt phẳng (SCD) hợ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, mặt phẳng (SCD) hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc \varphi sao cho cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{7}} . Biết rằng  SA = SC = SD, AB = BC = a, AD = 2a.          

a. Tính thể tích của khối chóp theo a. 

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD  và góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) theo a.


A.
V=a^{3}.\frac{\sqrt{3}}{2};\widehat{FKC}=arctan\frac{2}{\sqrt{3}}
B.
V=a^{3}.\frac{\sqrt{5}}{2};\widehat{FKC}=arctan\frac{2}{\sqrt{3}}
C.
V=a^{3}.\frac{\sqrt{5}}{2};\widehat{FKC}=arctan\frac{4}{\sqrt{3}}
D.
V=a^{3}.\frac{\sqrt{5}}{2};\widehat{FKC}=arctan\frac{5}{\sqrt{3}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi F, E lần lượt là trung điểm của AD, CD; ta có FA = FD = FC, do đó tam giác ACD vuông tại C, có tâm đường tròn ngoại tiếp là F (vuông cân). Vì SA = SD = SC nên SF là đường cao của hình chóp S.ABCD.

Dễ thấy SE và EF đồng thời vuông góc với CD, do đó góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là góc SEF = \varphi

Từ giả thiết ta có tan\varphi = √6 =  a√3. Như vậy ta có thể tích khối chóp S.ABCD là:

V=\frac{1}{3}SF.AB.\frac{AD+BC}{2}=\frac{1}{3}a^{2}\sqrt{3}.\frac{3a}{2}=a^{3}.\frac{\sqrt{3}}{2} (đvtt)

Do AD // BC nên d(SC, AD) = d((SBC), AD) = d(F, (SBC))

Kẻ FH vuông góc với SC ta có:

\left\{\begin{matrix} BC\perp CF & \\ BC\perp SF & \end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp (SCF)\Rightarrow BC\perp FH mà FH \perp (FBC) \Rightarrow d(AD, (SBC)) = FH

Tính FH: \frac{1}{FH^{2}}=\frac{1}{FS^{2}}+\frac{1}{FC^{2}}=\frac{1}{3a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{4a^{2}}\Rightarrow FH=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Dựng FK \perp  SD, do CF \perp (SAD) => CF \perp SD => (FKC) \perp SD

do đó goc giữa (SAD) và (SCD) là \widehat{FKC} (vì \widehat{CFK}=90^{0}

Ta có FK=FDsin600=\frac{a\sqrt{3}}{2};CF=a \Rightarrow tan\widehat{FKC}=\frac{CF}{FK}=\frac{2}{\sqrt{3}}

Vậy \widehat{FKC}=arctan\frac{2}{\sqrt{3}}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết