Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 37228

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{4a^{3}+3b^{3}+2c^{3}-3b^{2}c}{(a+b+c)^{3}}

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = \frac{4a^{3}+3b^{3}+2c^{3}-3b^{2}c}{(a+b+c)^{3}}


A.
\frac{9}{25}
B.
\frac{8}{25}
C.
\frac{4}{25}
D.
\frac{6}{25}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 3b2c ≤ 2b3 + c3 (*).

Dấu “=” xảy ra khi b = c

Ta sẽ chứng minh: b3 + c3 ≥ \frac{(b +c)^{3}}{4}  (**), với ∀b, c > 0.

Thật vậy (**)

<=> 4(b3 + c3) ≥ b3 + c3 + 3b2c + 3bc2

<=> b3 + c3 – b2c – bc2 ≥ 0 <=> (b + c)(b - c)2 ≥ 0, luôn đúng ∀b, c > 0

Dấu “=” xảy ra khi b = c

Áp dụng (*) và (**) ta được P  ≥ \frac{4a^{3}+\frac{(b+c)^{3}}{4}}{(a+b+c)^{3}} = 4t3 + \frac{1}{4}(1 – t)3

, với t = \frac{a}{a+b+c} , t ε (0;1)

Xét f(t)= 4t3 + \frac{1}{4}(1 - t)3 với t ε (0;1)                              

f’(t) = 12t2 – \frac{3}{4}(1 - t)2 ; f’(t) = 0 <=> t = \frac{1}{5} 

Suy ra f(t) ≥  \frac{4}{25} 

Dấu "=" xảy ra khi t = \frac{1}{5}

=> P ≥ \frac{4}{25}. Dấu "=" xảy ra khi \left\{\begin{matrix} b=c & \\ \frac{a}{a+b+c}=\frac{1}{5} & \end{matrix}\right. <=> 2a = b = c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \frac{4}{25} khi 2a = b = c

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết