Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; -3), C(-1; -2; -3) và mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0 Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; -3), C(-1; -2; -3) và mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0
Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.
) 
) 
) 
) Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có (S): (x - 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 4 suy ra (S) có tâm I(1; 0;-1), bán kính R = 2
Và 
= (1; -1; -4); 
= (-1; -3; -4)
Mặt phẳng (ABC) có một vec tơ pháp tuyến là ![\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2014/0819/v35220_493754_3.gif)
= (-8; 8; -4)
Suy ra (ABC) có phương trình: -8x + 8(y - 1) - 4(z - 1) = 0⇔ 2x - 2y + z + 1= 0
Ta có VABCD = 
.d(D; (ABC)).SABC nên VABCD lớn nhất khi và chỉ khi d(D; (ABC)) lớn nhất
Gọi D1D2 là đường kính của mặt cầu (S) vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Ta thấy với D là 1 điểm bất kì thuộc (S) thì
d(D; (ABC)) ≤ max {d (D1; (ABC)); d ( D2, (ABC))}
Dấu = xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2
Đường thẳng D1D2 đi qua I(1; 0; -1) và có vecto pháp tuyến là 
= (2; -2; 1)
Do đó (D1D2) có phương trình: 
Tọa độ điểm D1 và D2 thỏa mãn hệ 
⇔ 
=> D1(
) hoặc D2 (
)
Ta thấy: d(D1; (ABC)) > d( D2, (ABC))
Vậy điểm D() là điểm cần tìm
Ta có (S): (x - 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 4 suy ra (S) có tâm I(1; 0;-1), bán kính R = 2
Và = (1; -1; -4); = (-1; -3; -4)
Mặt phẳng (ABC) có một vec tơ pháp tuyến là = (-8; 8; -4)
Suy ra (ABC) có phương trình: -8x + 8(y - 1) - 4(z - 1) = 0⇔ 2x - 2y + z + 1= 0
Ta có VABCD = .d(D; (ABC)).SABC nên VABCD lớn nhất khi và chỉ khi d(D; (ABC)) lớn nhất
Gọi D1D2 là đường kính của mặt cầu (S) vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Ta thấy với D là 1 điểm bất kì thuộc (S) thì
d(D; (ABC)) ≤ max {d (D1; (ABC)); d ( D2, (ABC))}
Dấu = xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2
Đường thẳng D1D2 đi qua I(1; 0; -1) và có vecto pháp tuyến là = (2; -2; 1)
Do đó (D1D2) có phương trình:
Tọa độ điểm D1 và D2 thỏa mãn hệ
⇔
=> D1() hoặc D2 ()
Ta thấy: d(D1; (ABC)) > d( D2, (ABC))
Vậy điểm D() là điểm cần tìm
Câu hỏi liên quan
-
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=
+
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
+
+2(x+1)(y+1)+8
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
. -
Giải hệ phương trình
(x, y
R) -
Giải phương trình
=
-
Tính tích phân I=
-
Tính tích phân I =
