Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 36426

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(1; 1; 0). Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): x + 2y - 3 = 0 sao cho MA2 + 2MB2+ MC2 nhỏ nhất

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(1; 1; 0). Tìm điể

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(1; 1; 0). Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): x + 2y - 3 = 0 sao cho MA2 + 2MB2+ MC2 nhỏ nhất


A.
M(\frac{-13}{10};\frac{17}{20} ; 0)
B.
M(\frac{13}{10};\frac{17}{20} ; 0)
C.
M(\frac{13}{10};\frac{-17}{20} ; 0)
D.
M(\frac{13}{10};\frac{17}{20} ; 1)
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi I(a; b; c) thỏa mãn  \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{2IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}

Ta được \left\{\begin{matrix} 1-a+2(0-a)+(1-a)=0\\ 0-b+2(-2-b)+1-b=0\\ 0-c+2(0-c)+(0-c)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{2}\\ b=\frac{-3}{4}\\ c=0 \end{matrix}\right.

Nên I (\frac{1}{2};\frac{-3}{4}; 0) cố định

MA2 + 2MB2+ MC2  = (\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM})^{2}+2(\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IM})^{2}+(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IM})^{2}

= IA2 + 2IB2 + IC2 - 2\overrightarrow{IM}(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+ 4IM2 = IA2 + 2IB2 + IC2 + 4MI2

Do I, A, B cố định nên tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên (P)

Gọi M(x, y, z) ta có \overrightarrow{IM}=k.\overrightarrow{n}_{(P)} 

⇔ \left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{2}=1.k\\ y+\frac{3}{4}=2k\\ z-0=0.k\\ x+2y-3=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{13}{10}\\ y=\frac{17}{20}\\ z=0 \end{matrix}\right.

Vậy M(\frac{13}{10};\frac{17}{20} ; 0) 

Câu hỏi liên quan

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết