Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3582

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 2y + z + 5 = 0, (β): 4x - 3z + 23 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (β) tại A(5;2;1) và cắt (α) theo một đường tròn có diện tích bằng 16π. Biết rằng tâm của mặt cầu (S) có tọa độ nguyên.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 2y + z

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 2y + z + 5 = 0, (β): 4x - 3z + 23 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (β) tại A(5;2;1) và cắt (α) theo một đường tròn có diện tích bằng 16π. Biết rằng tâm của mặt cầu (S) có tọa độ nguyên.


A.
(S): (x – 1)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 = 30
B.
(S): (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z + 2)2 = 25
C.
(S): (x – 1)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 = 25
D.
(S): (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 2)2 = 25
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với (β) tại A nên tâm I của mặt cầu (S) nằm trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (β).

Ta có d: \left\{\begin{matrix} x=5+4t\\y=2 \\z=1+3t \end{matrix}\right.

Mặt cầu (S) cắt (α) theo một đường tròn có diện tích là 16π (r = 4) nên bán kính của mặt cầu (S) được tính theo công thức 

R = \sqrt{d^{2}(I,\left ( \alpha \right ))+r^{2}}  = \sqrt{d^{2}\left ( I,\left ( \alpha \right ) \right )+16}

Vì I ∈ d nên I(5 + 4t;2;1 + 3t). Từ giả thiết ta có 

 IA = \sqrt{d^{2}\left ( I,\left ( \alpha \right ) \right )+16} ⇔ (4t)2 + (3t)2 = \frac{\left ( 20+11t \right )^{2}}{9} + 16

⇔ 104t2 – 440t – 544 = 0 ⇔ \begin{bmatrix} t=-1\\t=\frac{68}{13} \end{bmatrix}

Vì I có tọa độ nguyên nên I(1;2;-2), R = IA = 5

Vậy (S): (x – 1)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 = 25

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết