Cho z là số phức thỏa mãn (1 - z)(i + 
) là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của T = |z - i|
Câu hỏi
Nhận biếtCho z là số phức thỏa mãn (1 - z)(i + ) là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của T = |z - i|
Đáp án đúng: B
Lời giải của Luyện Tập 365
Đặt z = x + yi (x, y ∈ 
). Khi đó
(1 - z)(i + 
) = ((1 - x) - yi)(x - (y - 1)i)
= (1 - x)x - y(y - 1) - ((1 - x)(y - 1) + yx)i
Số (1 - z)(i + ) là số ảo ⇔ (1 - x)x - y(y - 1) = 0
⇔ x2 – x + y2 – y = 0
⇔ ( x - 
)2 + (y - )2 =
⇔ (
x - 
)2 + (
y - )2 = 1
Đặt 
⇔ 
Khi đó T2 = |z – i|2 = |x + (y – 1)i|2 = x2 + (y – 1)2
= (sinα + )2 + (cosα - )2
= 1 + (sinα - cosα) = 1 + sin(α - 
)
Ta có T ≤ √2, dấu đẳng thức khi sin(α - 
) = 1 hay x = 1, y = 0; và
T ≥ 0, dấu đẳng thức khi sin(α - 
) = -1 hay x = 0, y = 1
Vậy maxT = √2, đạt khi z = 1; minT = 0, đạt khi z = i
Đặt z = x + yi (x, y ∈ ). Khi đó
(1 - z)(i + ) = ((1 - x) - yi)(x - (y - 1)i)
= (1 - x)x - y(y - 1) - ((1 - x)(y - 1) + yx)i
Số (1 - z)(i + ) là số ảo ⇔ (1 - x)x - y(y - 1) = 0
⇔ x2 – x + y2 – y = 0
⇔ ( x - )2 + (y - )2 =
⇔ (x - )2 + (y - )2 = 1
Đặt ⇔
Khi đó T2 = |z – i|2 = |x + (y – 1)i|2 = x2 + (y – 1)2
= (sinα + )2 + (cosα - )2
= 1 + (sinα - cosα) = 1 + sin(α - )
Ta có T ≤ √2, dấu đẳng thức khi sin(α - ) = 1 hay x = 1, y = 0; và
T ≥ 0, dấu đẳng thức khi sin(α - ) = -1 hay x = 0, y = 1
Vậy maxT = √2, đạt khi z = 1; minT = 0, đạt khi z = i
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=
+
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
+
+2(x+1)(y+1)+8
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).