Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3427

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P = \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}} - \frac{2}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P = \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}} - \frac{2}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}


A.
P = \frac{1}{4}
B.
P = -\frac{1}{4}
C.
P = -\frac{1}{3}
D.
P = \frac{1}{3}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có 

a2 + b2 + c2 + 1 ≥  \frac{1}{2}(a + b)2 +  \frac{1}{2}(c + 1)2 ≥  \frac{1}{4}(a + b + c + 1)2   

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≤  \left ( \frac{a+b+c+3}{3} \right )^{3} 

Suy ra P ≤   \frac{2}{a+b+c+1} - \frac{54}{\left ( a+b+c+3 \right )^{3}}

Đặt t = a + b + c +1, t  > 1. Khi đó ta có P ≤ \frac{2}{t} - \frac{54}{\left ( t+2 \right )^{3}}

Xét hàm f(t) = \frac{2}{t} - \frac{54}{\left ( t+2 \right )^{3}}  trên (1; +∞). Ta có 

f'(t) = -\frac{2}{t^{2}} + \frac{54.3}{\left ( t+2 \right )^{4}} = 0 ⇔ 9t =  (t + 2)2 ⇔ \begin{bmatrix} t=1\\t=4 \end{bmatrix}

f'(t)  >  0 ⇔ 1 <  t <  4

Suy ra bảng biến thiên : 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra P ≤ \frac{1}{4}. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

t = 4 ⇔ a = b = c = 1

Vậy giá trị lớn nhất của P =  \frac{1}{4} , đạt được lhi a = b = c = 1

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết