Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 34244

Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+4})(y+\sqrt{y^{2}+1})=2 & \\ 12y^{2}-10y+2 =2\sqrt[3]{x^{3}+1}& \end{matrix}\right.

Giải hệ phương trình

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+4})(y+\sqrt{y^{2}+1})=2 & \\ 12y^{2}-10y+2 =2\sqrt[3]{x^{3}+1}& \end{matrix}\right.


A.
(x;y)=(-1;2), (0;1)
B.
(x;y)= (0;0)
C.
(x;y)=(-1;2), (0;0)
D.
(x;y)=(-1;2)
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Phương trình đầu tiên của hệ tương đương với:

x+\sqrt{x^{2}+4}=\sqrt{(-2y)^{2}+4}+(-2y)

\Leftrightarrow f(x)=f(-2y) với y=f(t)=\sqrt{t^{2}+4}+t

Ta có f'(t)=1+\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}=\frac{\sqrt{t^{2}+4}+t}{\sqrt{t^{2}+4}}>\frac{\left | t \right |+t}{\sqrt{t^{2}+4}}\geq 0,\forall t\Rightarrow f(t) là hàm đồng biến trên R.

Từ đó f(x)=(-2y) \Leftrightarrow x=-2y

Thế x=-2y vào phương trình của hệ phương trình đã cho ta được:

3x^{2}+5x+2=2\sqrt[3]{x^{3}+1}

\Leftrightarrow (x+1)^{3}+2(x+1)=(x^{3}+1)+2\sqrt[3]{x^{3}+1}

\Leftrightarrow g(x+1)=g(\sqrt[3]{x^{3}+1}) với y=g(t)=t3+2t

Ta có g'(t)=3t2+2>0,\forall t => g(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ đó:

g(x+1)=g(\sqrt[3]{x^{3}+1})

\Leftrightarrow x+1=\sqrt[3]{x^{3}+1}

\Leftrightarrow 3x2+3x=0

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1\Rightarrow y=2 & \\ x=0\Rightarrow y=0 & \end{matrix}\right.

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: (-1;2), (0;0)

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết