Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 33446

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn (a+ b +c)(b+ c - a)(c+ a -b)= 1 Chứng minh rằng: (\frac{a+b+c}{3})^{5} ≥  \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn (a+ b +c)(b+ c - a)(c+ a -b)= 1<

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn (a+ b +c)(b+ c - a)(c+ a -b)= 1

Chứng minh rằng: (\frac{a+b+c}{3})^{5} ≥  \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}


A.
Xảy ra khi a = b 
B.
Xảy ra khi a = b = c
C.
Xảy ra khi b = c =1
D.
Xảy ra khi a = b = c =1
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt x= a + b - c ; y= b+ c -a; z = c + a -b => xyz = 1 =>  x; y; z > 0

Và  a = \frac{x+z}{2},b = \frac{x+y}{2}; c = \frac{y+z}{2}. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

(\frac{x+y+z}{3})^{5} ≥ \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx}{6}

= \frac{(x+y+z)^{2}}{6} - \frac{xy+yz+zx}{6}

Áp dụng bất đẳng thức Cô si: xy +yz + zx ≥  3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}= 3

 

=> \frac{(x+y+z)^{2}}{6} - \frac{xy+yz+zx}{6}  ≤ \frac{(x+y+z)^{2}}{6} - \frac{1}{2}.

Ta cần chứng minh: (\frac{x+y+z}{3})^{5} ≥  \frac{(x+y+z)^{2}}{6} - \frac{1}{2}.

Đặt \frac{x+y+z}{3} = t với t ≥   1

Xét hàm số f(t) = t5 - \frac{3}{2}t2  + \frac{1}{2} với t ≥   1 => f'(t)= 5t4 -3t > 0 ∀ t ≥   1

 => f'(t) luôn đồng biến ∀ t ≥   1 => f'(t) ≥ f(1)= 0  => t5 ≥   \frac{3}{2}  t2 - \frac{1}{2} đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c =1

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết