Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 31161

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} (\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{y^{2}+4}+y)=2 & \\ x^{2}-\frac{3}{4}y=\sqrt{x-1} & \end{matrix}\right.(x,y\in \mathbb{R})

Giải hệ phương trình:

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} (\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{y^{2}+4}+y)=2 & \\ x^{2}-\frac{3}{4}y=\sqrt{x-1} & \end{matrix}\right.(x,y\in \mathbb{R})


A.
 x=1; y=4
B.
 x=2; y=4
C.
 x=1; y=3
D.
 x=1; y=2
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện x\geq 1, PT thứ nhất của hệ tương đương với:

(\sqrt{4x^{2}+4}-x)(\sqrt{y^{2}+4}+y)=4\Leftrightarrow \sqrt{(2x)^{2}+4}-(2x)=\frac{4}{\sqrt{y^{2}+4}+y}

=\sqrt{y^{2}+4}-y

Xét hàm số: f(t)=\sqrt{t^{2}+4}-t Ta có:

f'(t)=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}-1=\frac{t-\sqrt{t^{2}+4}}{\sqrt{t^{2}+4}}<\frac{t-\sqrt{t^{2}}}{\sqrt{t^{2}+4}}=\frac{t-\left | t \right |}{\sqrt{t^{2}+4}}\leq 0\forall tDo đó f(t) nghịch biến trên R. Kết hợp với f(2x) = f(y) ta suy ra y=2x

Thay y=2x và phương trình thứ hai của hệ ta được x^{2}-\frac{3}{2}x=\sqrt{x-1}

Đặt v=\sqrt{x-1}\geq 0\Leftrightarrow x=v^{2}+1 ta có PT:

(v^{2}+1)^{2}-\frac{3}{2}(v^{2}+1)=v\Leftrightarrow2v4+v2- 2v- 1=0 \Leftrightarrow (v-1)(2v3+2v2+3v+1)=0 \Leftrightarrow v=1 

hoặc 2v3+2v2+3v+1=0  ( Loại vì v\geq 0\Rightarrow2v3+2v2+3v+1\geq0+0+0+1>0).

Vậy x=2; y=4

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết