Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3084

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn 3xy + 3 = x4 + y4 + \frac{2}{xy} .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2y2 + \frac{16}{x^{2}+y^{2}+2}.

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn 3xy + 3 = x4 + y4

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn 3xy + 3 = x4 + y4 + \frac{2}{xy} .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2y2 + \frac{16}{x^{2}+y^{2}+2}.


A.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{20}{7}
B.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{15}{7}
C.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{20}{3}
D.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{13}{7}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt xy = t > 0. Từ giả thiết ta có

3xy + 3 = x4 + y4 + \frac{2}{xy}≥ 2x2y2 + \frac{2}{xy} , hay 3t + 3 = 2t2 + \frac{2}{t}  

⇔ 2t3– 3t2 -3t + 2 ≤ 0

⇔ ( t + 1)( 2t -1)(t -2) ≤ 0 ⇔ \frac{1}{2} ≤  t ≤ 2, vì t > 0.

Ta lại có P ≤ x2y2 + \frac{16}{2xy+2}≤ t2 +  \frac{8}{t+1}.  (1)

Xét hàm số f(t) = t2 +  \frac{8}{t+1}, ≤  t ≤ 2.

Ta có f’(t) = 2t - \frac{8}{(t+1)^{2}} , \frac{1}{2} ≤  t ≤ 2

f’(t) =0 ⇔ \left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}\leq t\leq 2\\t(t+2)^{2}-4=0\end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}\leq t\leq 2\\(t-1)(t^{2}+3t+4)=0\end{matrix}\right.⇔ t =1.

Ta có f(1) =5, f(2) = \frac{20}{3} , f(\frac{1}{2} ) = \frac{67}{12} .  (2)

Từ (1) và (2)  suy ra P ≤ \frac{20}{3}

Dấu đẳng thức xảy ra khi \left\{\begin{matrix}xy=2\\x=y> 0\end{matrix}\right.⇔ x= y =1

Vậy giá trị lớn nhất của P là \frac{20}{3} , đạt khi x = y =1.

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết