Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 2962

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y +z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức   P = \frac{1}{1+xy+x^{2}y^{2}}  +\frac{1}{1+yz+y^{2}z^{2}}  +\frac{1}{1+zx+z^{2}x^{2}}

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y +z =3. Tìm giá trị nhỏ n

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y +z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức   P = \frac{1}{1+xy+x^{2}y^{2}}  +\frac{1}{1+yz+y^{2}z^{2}}  +\frac{1}{1+zx+z^{2}x^{2}}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng -2
B.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng -1
C.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 2
D.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 1
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có 3 – P = \frac{xy+x^{2}y^{2}}{1+xy+x^{2}y^{2}} + \frac{yz+y^{2}z^{2}}{1+yz+y^{2}z^{2}} + \frac{zx+z^{2}x^{2}}{1+zx+z^{2}x^{2}}

Với các số không âm x,y ta chỉ ra rằng \frac{xy+x^{2}y^{2}}{1+xy+x^{2}y^{2}} ≤ \frac{x+y}{3}   (1)

Thật vậy, bất đẳng thức (1) tương đương với

x3y2 + x2y3 + x2y + xy2 + x + y ≥ 3(xy + x2y2).  (2)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có x3y2 + x2y3 +xy ≥ 3 x2y2     (3)

và  x2y +y + xy2 +x  ≥ 2xy + 2xy =4xy (4)

Cộng (3) và (4) ta được (2). Như vậy (1) được chứng minh.

Tương tự ta thu được

\frac{yz+y^{2}z^{2}}{1+yz+y^{2}z^{2}} ≤  \frac{y+z}{3} và   \frac{zx+z^{2}x^{2}}{1+zx+z^{2}x^{2}} ≤ \frac{z+x}{3}  (5)

Từ (1) và (5) ta có 3 – P ≤ \frac{2(x+y+z)}{3} = 2. Suy ra P ≥  1.

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z =1.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt khi x =y = z =1.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết