Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 2222

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn \left | \frac{(1+i)z}{1-i}+2\right | = √3, hãy tìm số phức có mô đun nhỏ nhất và số phức có mô đun lớn nhất

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn

Câu hỏi

Nhận biết

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn \left | \frac{(1+i)z}{1-i}+2\right | = √3, hãy tìm số phức có mô đun nhỏ nhất và số phức có mô đun lớn nhất


A.
|z| lớn nhất khi z = (2 +√3)i với |z| = 2+\sqrt{3}, và |z| nhỏ nhất khi z = (2 -√3)i với |z| = 2-\sqrt{3},
B.
|z| lớn nhất khi z = (2 +√3)i với |z| = 2-\sqrt{3}, và |z| nhỏ nhất khi z = (2 -√3)i với |z| = 2+\sqrt{3},
C.
|z| lớn nhất khi z = (2 -√3)i với |z| = 2+\sqrt{3}, và |z| nhỏ nhất khi z = (2 +√3)i với |z| = 2-\sqrt{3},
D.
|z| lớn nhất khi z = (2 +√3)i với |z| =- 2+\sqrt{3}, và |z| nhỏ nhất khi z = (2 -√3)i với |z| = 2-\sqrt{3},
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt z = x + yi (x , y ∈ \mathbb{R}). Khi đó

 \left | \frac{(1+i)z}{1-i}+2\right | = √3 ⇔ |i(x +yi) + 2| = √3

⇔ |(2 - y) + xi| = √3 ⇔ (2 – y)2 + x2 = 3

⇔ \left ( \frac{x}{\sqrt{3}} \right )^{2} + \left ( \frac{y-2}{\sqrt{3}} \right )^{2} = 1

Đặt \frac{x}{\sqrt{3}} = sin α, \frac{y-2}{\sqrt{3}} = cos α. Khi đó x = √3sin α, y = √3cos α + 2 và

|z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{3sin^{2}\alpha +(\sqrt{3}cos\alpha +2)^{2}} = \sqrt{7+4\sqrt{3}cos\alpha }Ta có

* |z| ≤ \sqrt{7+4\sqrt{3}} = 2 +  √3 , dấu đẳng thức xảy ra khi

cosα = 1 ⇔ \left\{\begin{matrix} x=0\\y=2+\sqrt{3} \end{matrix}\right. hay z = (2 + √3)i

* |z| ≤ \sqrt{7-4\sqrt{3}} = 2 -  √3 , dấu đẳng thức xảy ra khi

cosα = -1 ⇔ \left\{\begin{matrix} x=0\\y=2-\sqrt{3} \end{matrix}\right. hay z = (2 - √3)i

Vậy |z| lớn nhất khi z = (2 + √3)i với |z| = 2+\sqrt{3},

và |z| nhỏ nhất khi z = (2 - √3)i với |z| = 2-\sqrt{3},

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết