Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16605

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b+c=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F=14(a2 +b2 +c2) + frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}.

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b+c=1.Tìm giá trị nh

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b+c=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F=14(a2 +b2 +c2) + frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}.


A.
 giá trị nhỏ nhất của F là frac{23}{3}
B.
 giá trị nhỏ nhất của F là frac{25}{3}
C.
 giá trị nhỏ nhất của F là 9
D.
 giá trị nhỏ nhất của F là frac{28}{3}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: a,b,c>0 và a+b+c=1. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

a2 +b2 +c2 = (a2 +b2 +c2)(a+b+c )

=a3+a2b+a2c+ab2+b3+b2c+c2a+bc2+c3

 =(a3+ab2)+(b3+bc2)+(a2c+c3)+(a2b+b2c+c2a)

geq 2a2b+2b2c+2c2a+(a2b+b2c+c2a)=3(a2b+b2c+c2a)

Và 3(a2b+b2c+c2a)= (a – b)2 +(b – c)2+(c-a)2+(a+b+c)2geq(a+b+c)2=1.

=>a2 +b2 +c2 geq frac{1}{3}. Đặt x=a2 +b2 +c2 (x>0)

Ta có:

F =14(a2 +b2 +c2)+frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}geq14(a2 +b2 +c2)+3.frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}

=14x+frac{3left ( 1-x) right )}{2x} = 14x+ frac{3}{2x} - frac{3}{2} = frac{1}{2}x + frac{3}{2}left ( 9x+frac{1}{x} right ) - frac{3}{2}

geq frac{1}{2}.frac{1}{3}+frac{3}{2}.2.sqrt{9x.frac{1}{x}}-frac{3}{2}=frac{1}{6} +9 - frac{3}{2}geq frac{23}{3}

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c và x=frac{1}{3} <=> a=b=c=frac{1}{3}

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là frac{23}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết