Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16556

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC=3IC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC)

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC=3IC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.


A.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{3} và d(AI;SB)= small frac{4a}{sqrt{33}}
B.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{9} và d(AI;SB)= small frac{2a}{sqrt{33}}
C.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{3} và d(AI;SB)= small frac{2a}{sqrt{33}}
D.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{9} và d(AI;SB)= small frac{4a}{sqrt{33}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

(hs tự vẽ hình)

Ta có: SABCD = a.a√3 = a2√3   (đvdt)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Theo giả thiết ta có: SO ⊥ (ABCD)

small AC=sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a => OC=a

Mặt khác: AI⊥SC => ∆SOC và ∆AIC đồng dạng

=> small frac{CI}{CO}=frac{CA}{CS}

<=> CI.CS=CO.CA

=> SC=a√6

=> SO=small sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=asqrt{5}

VS.ABCD = small frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=frac{1}{3}.asqrt{5}.a^{2}sqrt{3}=frac{a^{3}sqrt{15}}{3} (đvtt)

Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC tại M, suy ra SB//(AIM), do đó

d(SB;AI) = d(SB;(AIM)) = d(B;(AIM)).

Mà: small frac{CI}{CS}=frac{CM}{CB}=> BM=2CM => d(B;(AIM))=2d(C;(AIM))

Hạ IH ⊥ (ABCD) , dễ thấy IH=small frac{SO}{3}

small S_{AMC}=frac{S_{ABCD}}{6} => small V_{IAMC}=frac{1}{18}.V_{ABCD}=a^{3}frac{sqrt{15}}{54}

Ta có: IM=small frac{SB}{3}=frac{SC}{3}=asqrt{frac{2}{3}};AM=sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=asqrt{frac{7}{3}}

AI=small sqrt{AC^{2}-CI^{2}}=asqrt{frac{10}{3}}

=> small coswidehat{MAI}=frac{3sqrt{70}}{28}=> sinwidehat{MAI}=frac{sqrt{154}}{28}

=> small S_{AMI}=frac{1}{2}.AM.AI.sinwidehat{MAI}=frac{1}{2}.asqrt{frac{7}{3}}.asqrt{frac{10}{3}}.frac{sqrt{154}}{28}=a^{2}frac{sqrt{55}}{12}

=> d(B;(AIM)) = 2d(C;(AIM)) = 2. small frac{3V_{IAMC}}{S_{AMI}}= small frac{4a}{sqrt{33}}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết