Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16475

Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 2.Chứng minh rằng: frac{a^{2}}{b+c} + frac{b^{2}}{c+a} + frac{c^{2}}{a+b} geq 1

Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:

frac{a^{2}}{b+c} + frac{b^{2}}{c+a} + frac{c^{2}}{a+b} geq 1


A.
 frac{a^{2}}{b+c} geq 2a - frac{b+c}{4};  frac{b^{2}}{c+a} geq 2b - frac{a+c}{4};  frac{c^{2}}{a+b} geq 2c - frac{a+b}{4}.
B.
 frac{a^{2}}{b+c} geq a - frac{b+c}{4};  frac{b^{2}}{c+a} geq b - frac{a+c}{4};  frac{c^{2}}{a+b} geq c - frac{a+b}{4}.
C.
 frac{a^{2}}{b+c} geq frac{a}{2} - frac{b+c}{4};  frac{b^{2}}{c+a} geq frac{b}{2} - frac{a+c}{4};  frac{c^{2}}{a+b} geq frac{c}{2} - frac{a+b}{4}.
D.
 frac{a^{2}}{b+c} geq a - frac{b+c}{2};  frac{b^{2}}{c+a} geq b - frac{a+c}{2};  frac{c^{2}}{a+b} geq c - frac{a+b}{2}.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 

frac{a^{2}}{b+c} +frac{b+c}{4} geq 2sqrt{frac{a^{2}}{b+c}.frac{b+c}{4}} = 2.frac{a}{2} = a

=> frac{a^{2}}{b+c} geq a - frac{b+c}{4}

Tương tự : frac{b^{2}}{c+a} geq b - frac{a+c}{4}; frac{c^{2}}{a+b} geq c - frac{a+b}{4}.

Cộng từng vế ba bất đẳng thức ta được:

frac{a^{2}}{b+c} + frac{b^{2}}{c+a} + frac{c^{2}}{a+b} geq (a + b +c) - frac{a+b+c}{2} = frac{a+b+c}{2} =1

=> đpcm

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết