Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16033

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a√3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB,AC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a√3, SA vuông góc vớ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a√3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB,AC.


A.
V=frac{sqrt{3}a^{3}}{6}, cos(SB,AC)=frac{sqrt{2}}{4}
B.
V=frac{sqrt{3}a^{3}}{6}, cos(SB,AC)= -frac{sqrt{2}}{4}
C.
V=frac{sqrt{3}a^{3}}{2}, cos(SB,AC)=frac{sqrt{2}}{2}
D.
V=frac{sqrt{3}a^{3}}{2}, cos(SB,AC)=frac{1}{2}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

+ Tính VSACD

Có S∆ACD =frac{1}{2}DA.DC=frac{1}{2}a2

h=SA=a√3 (Vì SA vuông góc với đáy)

=> V=frac{1}{3}.SA.S∆ACD=frac{1}{3}a√3.frac{1}{2}a2=frac{sqrt{3}a^{3}}{6} (đvtt)

+ Tính cosin góc giữa SB và AC

-Từ O (giao 2 đường chéo AC và BD) kẻ OM//SB

=> Góc giữa hai đường thẳng SB và AC bằng góc giữa hai đường thẳng OM và AC

-Xét tam giác COM

Có OM=frac{1}{2}SB=frac{1}{2}sqrt{SA^{2}+AB^{2}}

=frac{1}{2}sqrt{(asqrt{3})^{2}+a^{2}}=a (Vì OM là đường trung bình của tam giác SBD)

OC=frac{1}{2}AC=frac{asqrt{2}}{2}

Có CD⊥AD, CD⊥SA => CD⊥(SAD) => CD⊥SD

=> Tam giác COM vuông tại D

Có MD=frac{1}{2}SD=frac{1}{2}sqrt{SA^{2}+AD^{2}}=frac{1}{2}sqrt{(asqrt{3})^{2}+a^{2}}=a

=> CM=sqrt{DC^{2}+DM^{2}}=sqrt{a^{2}+a^{2}}=a√2

=> Cos(widehat{COM})=frac{OM^{2}+OC^{2}-CM^{2}}{2OM.OC}

=frac{a^{2}+(frac{asqrt{2}}{2})^{2}-(asqrt{2})^{2}}{2a.frac{asqrt{2}}{2}} = -frac{sqrt{2}}{4}

=> cos(widehat{SB,AC})=frac{sqrt{2}}{4}

VSACD

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết