Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 15861

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: x3­ + 8y3 + 27z3 – 18xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x2 + 4y2 + 9z2

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: x3­ + 8y3 + 27z

Câu hỏi

Nhận biết

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: x3­ + 8y3 + 27z3 – 18xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x2 + 4y2 + 9z2


A.
MinP=small frac{1}{3}
B.
MinP=1
C.
MinP=2
D.
MinP=3
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: 1= X3­ + 8y3 + 27z3 – 18xyz = (x+2y+3z)(x2 + 4y2 + 9z2 - 2xy - 3xz - 6yz)   (1)

Mà: x2 + 4y2 + 9z2 - 2xy - 3xz - 6yz >0 nên x+2y+3z>0

Đặt: t=x+2y+3z (t>0)

t2 = (x+2y+3z)2 = x2 + 4y2 + 9z2 +2(2xy + 3xz + 6yz)                              (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

P=small frac{t^{2}}{3}+frac{2}{3t} với t>0

P=small frac{t^{2}}{3}+frac{2}{3t}=small frac{t^{2}}{3}+frac{1}{3t}+frac{1}{3t}geq 3sqrt[3]{frac{t^{2}}{3}.frac{1}{3t}.frac{1}{3t}}=1

Đẳng thức xảy ra khi t=1 (chẳng hạn khi x=1; y=z=0)

Vậy minP=1

 

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết