Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13965

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=frac{x}{2x+3y}+frac{y}{y+z}+frac{z}{x+z}

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nh

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x≥y; x≥z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=frac{x}{2x+3y}+frac{y}{y+z}+frac{z}{x+z}


A.
 Pmin=frac{34}{33} 
B.
 Pmin=frac{3}{4} 
C.
 Pmin=frac{14}{33}
D.
 Pmin=frac{34}{23}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước tiên ta đi chứng minh:

frac{1}{1+a}+frac{1}{1+b}≥frac{2}{1+sqrt{ab}}, với a,b dương và ab≥1

Thật vậy, biến đổi bất đẳng thức về dạng:

frac{1+b+1+a}{(1+a)(1+b)}≥frac{2}{1+sqrt{ab}} <=> (a+b+2)(1+sqrt{ab})≥2(1+a)(1+b)

<=>(a+b)sqrt{ab}+2sqrt{ab}≥a+b+2ab <=>(a+b)(sqrt{ab}-1)-2sqrt{ab}(sqrt{ab}-1)≥0

<=>(a+b-2sqrt{ab})sqrt{ab}-1)≥0 <=>(sqrt{a}-sqrt{b})^{2}(sqrt{ab}-1)≥0

Bất đẳng thức trên luôn đúng với a,b dương, ab≥1 và dấu "=" xay ra khi và chỉ khi a=b hoặc ab=1

Áp dụng bất đẳng thức trên, bằng việc viết lại P dưới dạng:

P=frac{1}{2+3frac{y}{x}}+frac{1}{1+frac{z}{y}}+frac{1}{1+frac{x}{z}}≥frac{1}{2+3frac{y}{x}}+frac{2}{1+sqrt{frac{x}{y}}}

Dấu "=" xảy ra khi frac{z}{y}=frac{x}{z} hoặc frac{x}{y}=1

Đặt t=sqrt{frac{x}{y}}, t∈[1;2] xét hàm số g(t)=frac{1}{2+frac{3}{t^{2}}}+frac{2}{1+t}==frac{t^{2}}{2t^{2}+3}+frac{2}{1+t}

Trên [1;2]

Ta có:

g'(t)=frac{2t(2t^{2}+3)-4t.2t^{2}}{(2t^{2}+3)^{3}} - frac{2}{(1+t)^{2}}

=frac{2[t(2t^{2}+3)-4t^{3}](1+t)^{2}-2(2t^{2}+3)^{2}}{(2t^{2}+3)^{2}(1+t)^{2}}

= - frac{2[t^{3}(4t-3)+3t(2t-1)+9]}{(2t^{2}+3)^{2}(1+t)^{2}} <0

=> Hàm số g(t) nghịch biến trên [1;2] => g(t)≥g(2)=frac{34}{33}

Dấu "=" xảy ra khi: t=2<=> sqrt{frac{x}{y}}=2 <=> frac{x}{y}=4<=> x=4y<=> left{begin{matrix} x=4\y=1 end{matrix}right.

Từ đó ta có Pmin=frac{34}{33} đạt được khi:

left{begin{matrix} x=4,y=1\frac{z}{y}=frac{x}{z} end{matrix}right.<=> left{begin{matrix} x=4,y=1\z=2 end{matrix}right.

Vậy ta có Pmin=frac{34}{33} đạt được khi x=4, y=1,z=2

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết