Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1297

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SCD vuông tại S, góc \widehat{SDC}= 30o , hình chiếu của S xuống (ABCD) nằm trên cạnh CD. Gọi M là trung điểm của SA. Tính thể tích khối chóp MABD và góc giữa hai đường thẳng AC và DM.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SCD vuông tại

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SCD vuông tại S, góc \widehat{SDC}= 30o , hình chiếu của S xuống (ABCD) nằm trên cạnh CD. Gọi M là trung điểm của SA. Tính thể tích khối chóp MABD và góc giữa hai đường thẳng AC và DM.


A.
VMADB= \frac{2a^{3}}{9}(đvtt) cos(\widehat{DM,AC})=\frac{\sqrt{13}}{22}
B.
VMADB=\frac{12a^{3}}{\sqrt{7}}(đvtt) cos(\widehat{DM,AC})=\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
VMADB=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48} (đvtt) cos(\widehat{DM,AC})=\frac{\sqrt{14}}{28}
D.
VMADB= \frac{3a^{3}}{16}(đvtt) cos(\widehat{DM,AC})=\frac{3\sqrt{3}}{28}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

 

Gọi H là hình chiếu của S lên CD. Khi đó SH⊥ (ABCD).

Trong tam giác giác vuông SCD ta có

SC=CD.sin30o= \frac{a}{2}, SD=CD.cos30o=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SCD ta có

SH=\frac{SC.SD}{CD}= \frac{\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{4}.

Từ đó suy ra

VMABD=\frac{1}{3}d(M,(ABCD)).S­ABD=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}SH.\frac{1}{2}SABCD=\frac{1}{12}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{48} (đvtt)

Gọi I là trung điểm của SC. Khi đó MI//AC.

Suy ra (\widehat{DM,AC})=(\widehat{DM,MI})

Trong tam giác vuông SDH ta có DH=DS.cos30o=\frac{3a}{4}.

Trong tam giác vuông ADH ta có:

AH=\sqrt{AD^{2}+DH^{2}} = \sqrt{a^{2}+\frac{9a^{2}}{16}} = \frac{5a}{4}.

Trong tam giác vuông AHS ta có:

SA=\sqrt{SH^{2}+AH^{2}} = \sqrt{\frac{3a^{2}}{16}+\frac{25a^{2}}{16}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}.

Trong tam giác SCD ta có

DI=\sqrt{SD^{2}+SI^{2}} = \sqrt{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{16}} = \frac{a\sqrt{13}}{4}

Trong tam giác SAD ta có

DM2=\frac{2DS^{2}+2DA^{2}-SA^{2}}{4} = \frac{2.\frac{3a^{2}}{4}+2a^{2}-\frac{7a^{2}}{4}}{4} = \frac{7a^{2}}{16}

Áp dụng định lý cosin trong tam DMI ta có:

cos\widehat{DMI} = \frac{\frac{7a^{2}}{16}+\frac{a^{2}}{2}-\frac{13a^{2}}{16}}{2.\frac{a\sqrt{7}}{4}.\frac{a}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{14}}{28}

Từ đó suy ra cos(\widehat{DM,AC}) = cos(\widehat{DM,MI})=|cos\widehat{DMI}| = \frac{\sqrt{14}}{28}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết