Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12632

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt ph

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.


A.
a. VABC.A’B’C’ = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = \frac{7a}{12}.
B.
a. VABC.A’B’C’ = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = \frac{5a}{12}.
C.
a. VABC.A’B’C’ = \frac{3a^{3}\sqrt{3}}{8}; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = \frac{7a}{12}.
D.
a. VABC.A’B’C’ = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = \frac{a}{12}.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H là trung điểm của BC, theo gải thiết ta có:

(A’BC) ∩(ABC) = BC và A’H⊥BC và AH⊥BC

=>g((A’BC),(ABC)) = \widehat{A'HC} = 600

a.Tính thể tích khối lăng trụ : Ta có: VABC.A’B’C’ = S∆ABC.AA’ (1)

trong đó : S∆ABC = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}            (2)

AA’ = AH.tan\widehat{A'HA} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.tan600 = \frac{3a}{2}           (3)

Thay (2), (3) vào (1), ta được: VABC.A’B’C’ = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{3a}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}.3

b.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC: Ta có:

+Gọi I là hình chiếu vuông góc của G trên (ABC), suy ra I là trọng tâm ∆ABC nên GI là trục đường tròn của ∆ABC.

+Gọi M là trung điểm của GA và trong mặt phẳng (AGH) dựng đường trung trực Mx của GA. Khi đó , Mx cắt GI tại J thì J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.

Nhận xét rằng: GM.GA = GJ.GI 

⇔ GJ = \frac{GM.GA}{GI} = \frac{GA^{2}}{2GI}= \frac{GI^{2}+AI^{2}}{2GI}= \frac{7a}{12}

Vậy, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = \frac{7a}{12}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết