Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12631

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB  và AC, H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a√3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lư

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB  và AC, H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a√3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a


A.
a.VS.CDNM = \frac{7a^{3}\sqrt{3}}{24}; b.d(DM,HC) = \frac{2a\sqrt{57}}{19}.
B.
a.VS.CDNM = \frac{5a^{3}\sqrt{3}}{24}; b.d(DM,HC) = \frac{2a\sqrt{57}}{19}.
C.
a.VS.CDNM = \frac{5a^{3}\sqrt{3}}{24}; b.d(DM,HC) = \frac{a\sqrt{57}}{19}.
D.
a.VS.CDNM = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}; b.d(DM,HC) = \frac{2a\sqrt{57}}{19}.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Tính thể tích khối chóp S.CDNM: Ta có: VS.CDNM = \frac{1}{3}SCDNM.SH.  (1)

Trong đó SH = a√3 và : SCDNM = SABCD – (S∆AMN  +  S ∆BCM ) = AB2 – (\frac{1}{2}AM.AN  + \frac{1}{2}BC.BM) = a2 – (\frac{1}{2}.\frac{1}{2}a.\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}a.\frac{1}{2}a) = \frac{5a^{2}}{8}(2)

Từ đó, bằng cách thay (2) vào (1) ta được : VS.CDNM = \frac{1}{3}.\frac{5a^{2}}{8}.a√3 = \frac{5a^{3}\sqrt{3}}{24}.

b.Tính khoảng cách giữa DM và SC: Trong mặt phẳng (SHC) hạ HK⊥SC, ta có nhận xét rằng :

∆ADM = ∆DCN =>\widehat{ ADM} = \widehat{ DCN}=>DM⊥CN =>DM⊥(SHC)

=>DM⊥HK =>HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC.

Trong ∆SHC, ta có : \frac{1}{HK^{2}} = \frac{1}{HS^{2}} + \frac{1}{HC^{2}}⇔HK = \frac{HS.HC}{\sqrt{HS^{2}+HC^{2}}} (3)

Trong  ∆CND, ta có : CD2 = CH.CN

⇔HC = \frac{CD^{2}}{\sqrt{CD^{2}+DN^{2}}} = \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}} =   \frac{2a}{\sqrt{5}} (4)

Từ đó, bằng cách thay (4) vào (3) ta được :

HK = \frac{a\sqrt{3}.\frac{2a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{(a\sqrt{3})^{2}+(\frac{2a}{\sqrt{5}})^{2}}} = \frac{2a\sqrt{57}}{19}.

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết