Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12306

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+3y^{2}}} - \frac{x-2y}{6(x+y)}.

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị l

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+3y^{2}}} - \frac{x-2y}{6(x+y)}.


A.
Giá trị lớn nhất của P là - \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{7}{30}.
B.
Giá trị lớn nhất của P là - \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.
C.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.
D.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{7}{30}.
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Do x > 0, y > 0, xy ≤ y -1 nên 0 < \frac{x}{y} ≤ \frac{y-1}{y^{2}} = \frac{1}{y} - \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{4}- (\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{2}})2 ≤ \frac{1}{4}.

Đặt t = \frac{x}{y}, suy ra 0 < t ≤ \frac{1}{4}. Khi đó P = \frac{t+1}{\sqrt{t^{2}-t+3}} - \frac{t-2}{6(t+1)}

Xét f(t) =\frac{t+1}{\sqrt{t^{2}-t+3}} - \frac{t-2}{6(t+1)}, với 0 < t ≤ \frac{1}{4}.

Ta có f’(t) = \frac{7-3t}{2\sqrt{(t^{2}-t+3)^{3}}} - \frac{1}{2(t+1)^{2}}.

Với 0 < t ≤ \frac{1}{4} ta có t2 – t + 3 = t(t -1) + 3  < 3; 7 – 3t > 6 và t + 1 > 1.

Do đó \frac{7-3t}{2\sqrt{(t^{2}-t+3)^{3}}}  > \frac{7-3t}{6\sqrt{3}}> \frac{1}{\sqrt{3}} và -\frac{1}{2(t+1)^{2}} > - \frac{1}{2}.

Suy ra f’(t) >\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2} > 0.

Do đó P = f(t) ≤ f(\frac{1}{4} ) = \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.

Khi x = \frac{1}{2} và  y = 2, ta có P =\frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.

Vậy giá trị lớn nhất của P là \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết