Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12270

Cho các số thực dương a, b , c thỏa mãn điều kiện (a + c )(b + c) = 4c2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{32a^{3}}{(b+3c)^{3}} +  \frac{32b^{3}}{(a+3c)^{3}} - \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{c}.

Cho các số thực dương a, b , c thỏa mãn điều kiện (a + c )(b + c) = 4c

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b , c thỏa mãn điều kiện (a + c )(b + c) = 4c2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{32a^{3}}{(b+3c)^{3}} +  \frac{32b^{3}}{(a+3c)^{3}} - \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{c}.


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là 1 - √2.
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là - 1 + √2.
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là  - 1 - √2.
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là 1 + √2.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt x = \frac{a}{c}; y = \frac{b}{c}. Ta được x > 0, y > 0.Điều kiện của bài toán trở thành xy + x + y = 3.

Khi đó P = \frac{32x^{3}}{(y+3)^{3}} + \frac{32y^{3}}{(x+3)^{3}} - \sqrt{x^{2}+y^{2}}

Với mọi u > 0, v > 0 ta có u3 + v3 = (u + v)3 – 3uv(u + v) ≥ (u + v)3 – \frac{3}{4}(u + v)3 = \frac{(u+v)^{3}}{4}.

Do đó \frac{32x^{3}}{(y+3)^{3}} + \frac{32y^{3}}{(x+3)^{3}}≥ 8(\frac{x}{y+3} + \frac{y}{x+3})3 = 8( \frac{(x+y)^{2}-2xy+3x+3y}{xy+3x+3y+9})3

Thay xy = 3 – x – y vào biểu thức trên ta được 

\frac{32x^{3}}{(y+3)^{3}} +\frac{32y^{3}}{(x+3)^{3}} ≥ 8( \frac{(x+y-1)(x+y+6)}{2(x+y+6)})3= (x + y – 1)3.

Do đó P ≥(x + y – 1)3 - \sqrt{x^{2}+y^{2}}= (x + y – 1)3 - \sqrt{(x+y)^{2}-2xy}

= (x + y -1)3 – \sqrt{(x+y)^{2}+2(x+y)-6}

Đặt t = x + y. Suy ra t > 0 và P ≥ (t – 1)3 – \sqrt{t^{2}+2t-6}

Ta có 3 = x + y + xy ≤ (x + y) + \frac{(x+y)^{2}}{4}= t + \frac{t^{2}}{4}  nên (t -2)(t + 6) ≥ 0.

Do đó t ≥ 2.

Xét f(t) = (t – 1)3 -\sqrt{t^{2}+2t-6} , với t ≥ 2.

Ta có f’(t) = 3(t – 1)2 – \frac{t+1}{\sqrt{t^{2}+2t-6}}

Với mọi t ≥ 2 ta có 3(t – 1)2 ≥ 3 và

\frac{t+1}{\sqrt{t^{2}+2t-6}} = \sqrt{1+\frac{7}{(t+1)^{2}-7}} ≤ \sqrt{1+\frac{7}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}, nên f’(t) ≥ 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2} > 0.

Suy ra  f(t) ≥ f(2) = 1 - √2. Do đó P ≥  1 - √2.

Khi a = b =c thì P = 1 - √2. Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 1 - √2.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết