Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12097

Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 4(\frac{a^{3}}{b^{3}} + \frac{b^{3}}{a^{3}}) - 9(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}})

Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 4(\frac{a^{3}}{b^{3}} + \frac{b^{3}}{a^{3}}) - 9(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}})


A.
minP = 2
B.
minP = -\frac{23}{4}
C.
minP = 1
D.
minP = \frac{23}{4}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Theo giả thuyết ta có: 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2)

Từ đây suy ra:

2(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + 1 = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})(ab + 2) hay 2(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + 1 = a + \frac{2}{b} + b + \frac{2}{a}

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a + \frac{2}{b} + b + \frac{2}{a} ≥ 2√2 (\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}})

Đặt t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}, ta suy ra: 2t + 1 ≥ 2\sqrt{2}\sqrt{t+2} ⇒ 4t2 – 4t – 15 ≥ 0 ⇒ t ≥ \frac{5}{2}

Mặt khác: P = 4(\frac{a^{3}}{b^{3}} + \frac{b^{3}}{a^{3}}) - 9(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}}) = 4(t3 – 3t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18 = f(t)

f’(t) = 12t2 – 18t – 12, f’(t) = 0 ⇒ \begin{bmatrix} t=-\frac{1}{2}\\ t=2 \end{bmatrix} ⇒ Min f(t) = -\frac{23}{4} khi t = \frac{5}{2}

Vậy minP = -\frac{23}{4} khi và chỉ khi \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{5}{2} và a + b = 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

⇔ a = 1 và b = 2 hoặc a = 2 và b = 1

Lưu ý:

Đặt t =  \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

Ta có:

\left\{\begin{matrix} t^{3}=\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}+3\frac{a}{b}.\frac{b}{a}(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})=\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}+3t\\ t^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2 \end{matrix}\right.

⇒ \left\{\begin{matrix} \frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{2}}{a^{3}}=t^{3}-3t\\ \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}=t^{2}-2 \end{matrix}\right.

Suy ra: P = 4(t3 – 3t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết