Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 10735

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N , P  lần lượt là trung điểm của SB, BC, AD. Biết mặt phẳng (MNP) tạo với mặt phẳng (SAB) một góc α với cosα =\frac{\sqrt{21}}{7} , tìm thể tích khối chóp S.MNP và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N , P  lần lượt là trung điểm của SB, BC, AD. Biết mặt phẳng (MNP) tạo với mặt phẳng (SAB) một góc α với cosα =\frac{\sqrt{21}}{7} , tìm thể tích khối chóp S.MNP và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.


A.
VS.MNP =\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}; Diện tích mặt cầu S =  \frac{7}{3}πa2.
B.
VS.MNP =\frac{a^{3}\sqrt{7}}{48}; Diện tích mặt cầu S =  \frac{7}{3}πa2.
C.
VS.MNP =\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}; Diện tích mặt cầu S =  \frac{5}{3}πa2.
D.
VS.MNP =\frac{a^{3}\sqrt{5}}{48}; Diện tích mặt cầu S =  \frac{7}{3}πa2.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

 

VS.MNP = VP.SMN = \frac{1}{4}VP.SBC = \frac{1}{4}VA.SBC = \frac{1}{4}VS.ABC= \frac{1}{8}VS.ABCD

Gọi H là trung điểm AB suy ra SH ⊥AB

Do (SAB) ⊥(ABCD) suy ra SH ⊥(ABCD)

VSABCD = \frac{1}{3}SH.dtABCD = \frac{1}{3}SH.a2

Gọi E là trung điểm CD , do (MNP)//(SCD) suy ra :

 \widehat{((MNP),(SAB))}=\widehat{((SCD),(SAB))} =\widehat{ESH} = α

SH =\frac{HE}{tan\alpha } = \frac{a}{tan\alpha } với tan2α  = \frac{1}{cos^{2}\alpha } -  1 = \frac{4}{3} nên SH = \frac{\sqrt{3}}{2}a

VS.MNP = \frac{1}{8}VS.ABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}

Gọi O là giao điểm của AC, BD , dựng đường thẳng a qua O và vuông góc (ABCD)

Gọi G là trọng tâm tam giác SAB , dựng đường thẳng b qua G và vuông góc (SAB)

Chứng minh được a, b đồng phẳng và cắt nhau tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD

Bán kính mặt cầu  R = SI = \sqrt{SG^{2}+GI^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{4}} = a\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}

Diện tích mặt cầu S = 4π(a\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}} )2 = \frac{7}{3}πa2

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết