Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 10490

Cho hệ phương trình \left\{\begin{matrix}mx+(m+1)y=1\\(m+1)x-my=8m+3\end{matrix}\right. .Chứng tỏ rằng hệ luôn có cặp nghiệm duy nhất (x, y). Tìm m để biểu thức P = |x2 + y2 + (4 + 2√3)y| đạt giá trị lớn nhất.

Cho hệ phương trình

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hệ phương trình \left\{\begin{matrix}mx+(m+1)y=1\\(m+1)x-my=8m+3\end{matrix}\right. .Chứng tỏ rằng hệ luôn có cặp nghiệm duy nhất (x, y). Tìm m để biểu thức P = |x2 + y2 + (4 + 2√3)y| đạt giá trị lớn nhất.


A.
m = \frac{6+\sqrt{39}}{2+\sqrt{13}-\sqrt{39}}.
B.
m = \frac{6-\sqrt{39}}{-2+\sqrt{13}+\sqrt{39}}.
C.
m = \frac{6+\sqrt{39}}{2+\sqrt{13}+\sqrt{39}}.
D.
m = \frac{6+\sqrt{39}}{-2+\sqrt{13}+\sqrt{39}}.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Hệ PT có nghiệm duy nhất ⇔hai đường thẳng mx + (m + 1)y = 1 , (1) và (m + 1)x – my = 8m + 3 (2) cắt nhau

Xét vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \overrightarrow{n_{1}}(m, m +1); \overrightarrow{n_{2}}(m +1; -m).

Do đó \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 0, suy ra hai đường thẳng (1); (2) luôn vuông góc nên cắt nhau

Gọi giao điểm là I(x; y). Đường thẳng (1) đi qua A(-1;1) cố định ; đường thẳng (2) luôn đi qua B(3; -5) cố định

Điểm I thuộc đường tròn đường kính AB nên có PT: (x + 1)2 + ( y + 2)2 = 13 (*)

Từ (*)⇔(\frac{x-1}{\sqrt{13}} )2 + ( \frac{y+2}{\sqrt{13}})2 = 1. Đặt x = 1 + √13cost; y = -2 + √13sint

P = |(x -1)2 + (y +2)2 + 2x +2√3y – 5| = |10 - 4√3 + 2√13(cost + √3sint)| = |10 - 4√3 + 4√13cos(t - \frac{\pi }{3})|

P đạt giá trị lớn nhất ⇔cos(t - \frac{\pi }{3}) = 1 ⇔x = 1+ \frac{\sqrt{13}}{2} ; y = -2 + \frac{\sqrt{39}}{2}

Do đó m = \frac{6-\sqrt{39}}{-2+\sqrt{13}+\sqrt{39}}

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết