Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Câu hỏi
Nhận biếtTrong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Vì BM là đường trung tuyến của tam giác đều ABC cạnh bằng a√6 nên
BM = 
= 
.
Suy ra BB'= 2BM = a√18.
Trong tam giác vuông SBB' (vuông tại B') ta có
SB = 
=
= 3a√3.
Từ ∆HBM 
∆BB'S (g.g) suy ra
= 
=> BH =
= 
= a√3
Suy ra: 
= 
= 
= 
=> d(H,(ABC)) = a
Vậy VH.ABC = .d(H,(ABC)).SABC = .a.
= 
Ta có AC⊥BM và AC⊥SB' nên Ac⊥(SBB') => AC⊥SB.
Theo giả thiết SB⊥MH, do đó SB⊥(AHC).
Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC.
Từ ∆HBM ∆BB'S (g.g) suy ra = 
=> MH = 
= 
= 
Trong tam giác AHC có đường trung tuyến HM bằng một nửa cạnh đối diện (AC = a√6) nên tam giác AHC vuông tại H.
Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 900 .
Vì BM là đường trung tuyến của tam giác đều ABC cạnh bằng a√6 nên
BM = = .
Suy ra BB'= 2BM = a√18.
Trong tam giác vuông SBB' (vuông tại B') ta có
SB = = = 3a√3.
Từ ∆HBM ∆BB'S (g.g) suy ra =
=> BH = = = a√3
Suy ra: = = =
=> d(H,(ABC)) = a
Vậy VH.ABC = .d(H,(ABC)).SABC = .a. =
Ta có AC⊥BM và AC⊥SB' nên Ac⊥(SBB') => AC⊥SB.
Theo giả thiết SB⊥MH, do đó SB⊥(AHC).
Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC.
Từ ∆HBM ∆BB'S (g.g) suy ra =
=> MH = = =
Trong tam giác AHC có đường trung tuyến HM bằng một nửa cạnh đối diện (AC = a√6) nên tam giác AHC vuông tại H.
Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 900 .
Câu hỏi liên quan
-
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=
-
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
, d2: 
= 
= 
. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Tính tích phân I=
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Tính tích phân I =
