Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 4429

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;0;0), M(1;1;1). Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi nhưng luôn qua đường thẳng đường thằng AM và cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại B(0;b;0), C(0;0;c) với b,c>0 Chứng minh: b+c=\frac{bc}{2} và tìm b,c để S∆ABC nhỏ nhất

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;0;0), M(1;1;1). Giả sử (P) l

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;0;0), M(1;1;1). Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi nhưng luôn qua đường thẳng đường thằng AM và cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại B(0;b;0), C(0;0;c) với b,c>0 Chứng minh: b+c=\frac{bc}{2} và tìm b,c để S∆ABC nhỏ nhất


A.
b=5; c=1
B.
 b=4; c=3
C.
 b=c=4
D.
 b=c=5
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,B,C.

Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đoạn chắn:

(P): \frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

Lại có: M(1;1;1) ∈(P) nên:

\frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 => \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2} <=> b+c=\frac{bc}{2}.

Để tính diện tích tam giác ABC ta áp dụng tính chất của tích có hướng của 2 vecto

S∆ABC = \frac{1}{2}|[\vec{AB},\vec{AC}]|

Có: \vec{AB}=(-2;b;0)

\vec{AC}=(-2;0;c)

=> [\vec{AB},\vec{AC}]=(bc;2c;2b)

Từ đó suy ra: 

S∆ABC = \frac{1}{2}|[\vec{AB},\vec{AC}]|=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}c^{2}+4c^{2}+4b^{2}}.

Ta có:

\frac{b+c}{2}≥\sqrt{bc} dấu ''='' khi b=c

Theo trên:

b+c=\frac{bc}{2} => \frac{bc}{2}≥2\sqrt{bc} => bc≥16

S=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}c^{2}+4c^{2}+4b^{2}} ≥\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}c^{2}+2\sqrt{4c^{2}+4b^{2}}}

 ≥\frac{1}{2}\sqrt{16^{2}+8.16} =4\sqrt{6}

Vậy GTNN S∆ABC =4\sqrt{6} đạt được khi:

\left\{\begin{matrix} b=c\\b+c=\frac{bc}{2} \end{matrix}\right. <=> b=c=4

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết