Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 62875

(ID : 64570 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a\dpi{100} \sqrt{3}, AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc \dpi{100} \alpha thỏa mãn \dpi{100} cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{7}}. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD)) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C.AMN và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BD.

(ID : 64570 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a. Cạnh bên SC

Câu hỏi

Nhận biết

(ID : 64570 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a\dpi{100} \sqrt{3}, AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc \dpi{100} \alpha thỏa mãn \dpi{100} cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{7}}. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD)) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C.AMN và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BD.


A.
\dpi{100} V_{C.AMN}= \frac{a^{3}}{4}; d(AM,BD) = \dpi{100} \frac{2a\sqrt{15}}{5}
B.
\dpi{100} V_{C.AMN}= \frac{a^{3}}{4}; d(AM,BD)= \dpi{100} \frac{a\sqrt{15}}{5}
C.
\dpi{100} V_{C.AMN}= \frac{2a^{3}}{4}; d(AM,BD) = \dpi{100} \frac{2a\sqrt{15}}{5}
D.
\dpi{100} V_{C.AMN}= \frac{2a^{3}}{4}; d(AM,BD)= \dpi{100} \frac{a\sqrt{15}}{5}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD)) cùng vuông góc với đáy nên SA ⊥ (ABCD)

Từ đó suy ra \dpi{100} (\widehat{SC,(ABCD))} = \dpi{100} \widehat{SCA} = \dpi{100} \alpha

Ta có: AC = \dpi{100} \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3a^{2}+a^{2}}=2a

Trong tam giác vuông SAC có SC = \dpi{100} \frac{AC}{cos\alpha }= \dpi{100} a\sqrt{7}

Trong tam giác vuông SAC ta có SA = \dpi{100} \sqrt{SC^{2}-AC^{2}} = \dpi{100} a\sqrt{3}

Từ đó suy ra:

\dpi{100} V_{SABCD}= \frac{1}{3}.a\sqrt{3}.a\sqrt{3}.a=a^{3}

Ta có: \dpi{100} V_{C.AMN}=V_{S.ABCD}-V_{S.CMN}-V_{N.ABC}-V_{MACD}-V_{S.AMN}

 \dpi{100} = V_{S.ABCD}(1-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8})

\dpi{100} = \frac{1}{4}V_{SABCD}

= \dpi{100} \frac{a^{3}}{4}

Tam giác AMN có AN = MN = a; AN = \dpi{100} \frac{a\sqrt{6}}{2}

Nên có diện tích bằng \dpi{100} \frac{a^{2}\sqrt{15}}{8}

=> d(C,(AMN)) = \dpi{100} \frac{3V_{C.AMN}}{S_{AMN}}= \frac{2a\sqrt{15}}{5}

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có:d(AM,BD) = d (BD, (AMN)) = d (O, (AMN)) = 1/2. d(C, (AMN)) = \dpi{100} \frac{a\sqrt{15}}{5}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết