Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 5746

Giải hệ phương trình:         \left\{\begin{matrix} x^{3}-3x^{2}+5x+1=4y\\ y^{3}-3y^{2}+5y+1=4z \\ z^{3}-3z^{2}+5z+1=4x \end{matrix}\right.

Giải hệ phương trình:

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình:         \left\{\begin{matrix} x^{3}-3x^{2}+5x+1=4y\\ y^{3}-3y^{2}+5y+1=4z \\ z^{3}-3z^{2}+5z+1=4x \end{matrix}\right.


A.
 Hệ có nghiệm: x = y = z = 1;             x = y = z = 1+ \sqrt{2}
B.
Hệ có nghiệm: x = y = z = 1;             x = y = z = 1\pm \sqrt{2}
C.
 Hệ có nghiệm: x = y = z = 1;             x = y = z = 1- \sqrt{2}
D.
Hệ có nghiệm: x = y = z = 0;             x = y = z = 1\pm \sqrt{2}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Xét hàm số f(t) = t3 – 3t2  + 5t + 1, t ∈ R

          f’(t) = 3t2 – 6t + 5 > 0 \forallt =>f(t) đồng biến trên R

Hệ có dạng\left\{\begin{matrix} f(x)=4y\\f(y)=4z \\f(z)=4x \end{matrix}\right.

 

Hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh x, y, z vì vậy ta có thể giả thiết:

       x ≥ y, x ≥ z.

Vì f(t) đồng biến nên:

Nếu x > y => f(x) > f(y) tức 4y > 4z

Hay y > z => f(y) > f(z) hay f(y) = 4z > f(z) = 4x.

=>z > x, tức y > x vô lí (trái giả thiết x > y).

Tương tự, nếu x > z => x < z (vô lí)

Vậy x = y = z, thay vào hệ ta được:

            x3 – 3x2 + 5x + 1 = 4x

           x3 – 3x2 + x + 1 = (x – 1)(x2 – 2x – 1) = 0 <=>\begin{bmatrix} x=1\\x=1\pm \sqrt{2} \end{bmatrix}

Kết luận: Hệ có nghiệm: x= y =z = 1

                x = y = z = 1\pm \sqrt{2}

 

            

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết