Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 42600

Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} x + y + 1 + x\sqrt{x^2 + 2} + (y + 1)\sqrt{y^2 + 2y + 3} = 0 & \\ 30^{x - y} = 41(x - y)) - 4^{x - y + 1} \end{matrix}\right.

Giải hệ phương trình

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình

\left\{\begin{matrix} x + y + 1 + x\sqrt{x^2 + 2} + (y + 1)\sqrt{y^2 + 2y + 3} = 0 & \\ 30^{x - y} = 41(x - y)) - 4^{x - y + 1} \end{matrix}\right.


A.
(0; -1), (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})
B.
(0; -1), (\frac{1}{2}; - \frac{1}{2})
C.
(0; 1), (- \frac{1}{2}; - \frac{1}{2})
D.
(0; -1), (- \frac{1}{2}; - \frac{1}{2})
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

 

Đặt a = x – y, phương trình (2) trở thành 30a + 4a + 1 – 41a – 5 = 0.

Xét f(a) = 30a + 4a + 1 – 41a – 5, ∀a

f’(a) = 30aln30 + 4a + 1 ln4 – 41

f’’(a) = 30a ln230 + 4a + 1 ln24 > 0, ∀a

Khi đó f(a) có không quá 1 cực trị hay f(a) = 0 không có quá 2 nghiệm    (3).

mà f(0) = f(1) = 0   (4).

Từ (3) và (4) => phương trình (2) ⇔ [\begin{matrix} x - y = 0 & \\ x - y = 1 & \end{matrix}

+ với x - y = 1 ⇔ x = y + 1, 

(1) ⇔ 2x(1 + \sqrt{x^2 + 2} ) = 0 ⇔ x = 0

=> (x; y) = (0; -1) là nghiệm của hệ đã cho.

+ với x - y = 0 ⇔ x = y

(1) ⇔ x(1 + \sqrt{x^2 + 2} ) + (x + 1)(1 + \sqrt{(x + 1)^2 + 2} ) = 0

Đặt \left\{\begin{matrix} u = \sqrt{x^2 + 2} & \\ v = \sqrt{x^2 + 2x + 3} & \end{matrix}\right. (u, v > 0) => \left\{\begin{matrix} u^{2} = x^2 + 2 & \\ v^{2} = x^2 + 2x + 3 & \end{matrix}\right.

<=> 

Phương trình (1) trở thành (u - v)[(u + v)(1 + \frac{v + u}{2}) + 1/2]

⇔ u = v (vì u, v >0)

khi đó ta có (1) ⇔ \sqrt{x^2 + 2} = \sqrt{x^2 + 2x + 3} ⇔ x = -1/2

suy ra nghiệm của hệ (x;y) = (-1/2; -1/2)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiêm (0; -1), (-1/2; -1/2)

 

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết