Chứng minh: cosx2 – 2cos + 1 ≥ 0 với ∀x∈[0;
].
Câu hỏi
Nhận biếtChứng minh: cosx2 – 2cos + 1 ≥ 0 với ∀x∈[0; ].
Đáp án đúng:
Lời giải của Luyện Tập 365
Xét f(x) = cosx2 – 2cosx + 1
Ta chứng minh f(x) ≥ 0 ∀ x∈[0;
])
Trường hợp 1: x ∈[0;1]=> x2 ≤ x, x2∈[0;1] => cosx2 ≥ cosx (do cosx nghịch biến trên (0;1))=>cos2x – 2cosx + 1 ≥ 1 – cosx ≥ 0
Trường hợp 2: 1 < x < 
: f(x) = cosx2 – 2cosx + 1=>f’(x) = -2x.sin2x + 2sinx.
x∈[0;
] => x < x2 ∈[0;
] => sinx < sinx2 ( hàm y = sinx đồng biến trên (1; 
)
=> 2xsinx < 2xsinx2 => - 2xsinx2 < -2xsinx
=>f’(x) = -2xsinx2 + 2sinx <-2xsinx + 2sinx = 2sinx(1- x) < 0
=>f(x) là hàm số nghịch biến tren [1;
]
=>f(x) > f(
) =>cos
– 2cos
+ 1 > 0
(do 
> 
=> cos 
< cos
=
=>2cos
< 2cos
= 1).
Vậy ∀x∈[0;
] ta có: cosx2 – 2cosx + 1 ≥ 0
Xét f(x) = cosx2 – 2cosx + 1
Ta chứng minh f(x) ≥ 0 ∀ x∈[0;])
Trường hợp 1: x ∈[0;1]=> x2 ≤ x, x2∈[0;1] => cosx2 ≥ cosx (do cosx nghịch biến trên (0;1))=>cos2x – 2cosx + 1 ≥ 1 – cosx ≥ 0
Trường hợp 2: 1 < x < : f(x) = cosx2 – 2cosx + 1=>f’(x) = -2x.sin2x + 2sinx.
x∈[0; ] => x < x2 ∈[0; ] => sinx < sinx2 ( hàm y = sinx đồng biến trên (1; )
=> 2xsinx < 2xsinx2 => - 2xsinx2 < -2xsinx
=>f’(x) = -2xsinx2 + 2sinx <-2xsinx + 2sinx = 2sinx(1- x) < 0
=>f(x) là hàm số nghịch biến tren [1;]
=>f(x) > f( ) =>cos – 2cos + 1 > 0
(do > => cos < cos = =>2cos < 2cos = 1).
Vậy ∀x∈[0; ] ta có: cosx2 – 2cosx + 1 ≥ 0
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Giải phương trình
=
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Giải phương trình (1-
).![\sqrt[3]{2-x}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1031/75_220_2.gif)
= x. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy. -
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
.