Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16076

Cho x,y,z>0 và frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}≤3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=frac{x^{3}}{(y+z)^{2}}+frac{y^{3}}{(z+x)^{2}}+frac{z^{3}}{(x+y)^{2}}

Cho x,y,z>0 và

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y,z>0 và frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}≤3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=frac{x^{3}}{(y+z)^{2}}+frac{y^{3}}{(z+x)^{2}}+frac{z^{3}}{(x+y)^{2}}


A.
Pmin=-frac{3}{4}
B.
Pmin=frac{1}{4}
C.
Pmin=frac{3}{4}
D.
Pmin=-2
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức cô si:

frac{x^{3}}{(y+z)^{2}}+frac{(y+z)}{8}+frac{(y+z)}{8}≥frac{3}{4}x

frac{y^{3}}{(z+x)^{2}}+frac{z+x}{8}+frac{z+x}{8}≥frac{3}{4}y

frac{z^{3}}{(x+y)^{2}}+frac{x+y}{8}+frac{x+y}{8}≥frac{3}{4}z

Cộng vế với vế ta được:

P+frac{x}{2}+frac{y}{2}+frac{z}{2}≥frac{3}{4}x+frac{3}{4}y+frac{3}{4}z

<=> P≥frac{x+y+z}{4}. Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z

Mặt khác ta có:

(x+y+z)(frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z})≥9

=> (x+y+z).3≥(x+y+z)(frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z})≥9

<=> x+y+z≥3

=> P≥frac{3}{4}. Dấu bằng xảy ra_x=y=z=1

Vậy Pmin=frac{3}{4} khi x=y=z=1

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết