Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 35045

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  A = (9x + y)(9y + z)(z - \sqrt{zx} + x)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu th

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  A = (9x + y)(9y + z)(z - \sqrt{zx} + x)


A.
Min A = \frac{7^{3}}{4} ⇔  x = \frac{2}{3}, y = 1; z = \frac{3}{2}
B.
Min A = \frac{7^{3}}{4} ⇔  x = 1, y =1, z = \frac{3}{2}
C.
Min A = \frac{7^{3}}{4} ⇔  x = \frac{2}{3}, y = 1, z = 0
D.
Min A = 1 ⇔  x = \frac{2}{3}, y =1; z = \frac{3}{2}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Do xyz = 1 nên 

A = \frac{(9x+y)(9y+z)(z-\sqrt{xz}+x)}{xyz} = (9 + \frac{y}{x})(9 + \frac{z}{y})(1- \sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z} )

= (92+ 9(\frac{y}{x} + \frac{z}{y} )+ \frac{z}{x})(1 - \sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z} ) ≥ (92+ 9.2.\sqrt{\frac{z}{x}} + \frac{z}{x}).

(1 -\sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z})

=(9+\sqrt{\frac{z}{x}})^{2}.(1- \sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z}) do 1- \sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z} > 0

Đặt t = \sqrt{\frac{z}{x}} , t > 0 thì A ≥ f(t) = (9 + t)2 (1 - \frac{1}{t}+ \frac{1}{t^{2}}) > 0

f'(t) = 2(9 + t)(1- \frac{1}{t}+ \frac{1}{t^{2}}) + (9 + t)2 ( \frac{1}{t^{2}} - \frac{2}{t^{3}})

= (\frac{9+ t}{t^{3}})(2t3 - t2 + 9t - 18) = (\frac{9+t}{t^{3}})(2t - 3)(t2 + t + 6)

f'(t) = 0 ⇔ t = \frac{3}{2} 

Lập BBT của f(t) trên khoảng (0;+∞) suy ra min_{(0;+\infty )} f(t)= \frac{7^{3}}{4}

Do đó A ≥ \frac{7^{3}}{4},

Đẳng thức xảy ra ⇔ x = \frac{2}{3}, y = 1; z = \frac{3}{2}

Vậy min A = \frac{7^{3}}{4} ⇔  x = \frac{2}{3}, y = 1, z = \frac{3}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết