Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 11369

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{y}{y+z} + \small \frac{z}{z+x}

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x≥ y, x≥ z

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{y}{y+z} + \small \frac{z}{z+x}


A.
minP = 2
B.
minP = \frac{34}{33}
C.
minP = 1
D.
minP = -\frac{34}{33}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

P = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{y}{y+z} + \small \frac{z}{z+x}

Lấy đạo hàm theo z ta có: P'(z) = 0 + \small \frac{-y}{(y+z)^{2}} + \small \frac{x}{(z+x)^{2}} = \small \frac{(x-y)(z^{2}-xy)}{(y+z)^{2}(z+x)^{2}}

+Nếu x = y thì P = \frac{6}{5}

+Ta xét x > y thì P ≥ P(\sqrt{xy}) = \small \frac{x}{2x+3y} + \small \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}

Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ nhất khi z = \sqrt{xy}

Đặt t = \sqrt{\frac{x}{y}} ⇒ P thành f(t) = \small \frac{t^{2}}{2t^{2}+3} + \small \frac{2}{1+t} (t ∈ (1 ; 2])

⇒ f'(t) = \small \frac{-2[4t^{3}(t-1)+3(2t^{2}-t+3)]}{(2t^{2}+3)^{2}(t+1)^{2}} < 0 

Vậy P ≥ f(t) ≥ f(2) = \frac{34}{33}. Dấu "=" xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2. Vậy minP = \frac{34}{33}

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết