Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 15508

Cho x, y, z là 3 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau M=x(frac{x^{3}}{4}+frac{1}{yz}) + y(frac{y^{3}}{4}+frac{1}{zx}) + z(frac{z^{3}}{4}+frac{1}{xy})

Cho x, y, z là 3 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau M=

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z là 3 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

M=x(frac{x^{3}}{4}+frac{1}{yz}) + y(frac{y^{3}}{4}+frac{1}{zx}) + z(frac{z^{3}}{4}+frac{1}{xy})


A.
minM=-frac{15}{4}
B.
minM=frac{15}{4}
C.
minM=frac{4}{15}
D.
minM=-frac{4}{15}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có M==frac{x^4}{4}+frac{y^4}{4}+frac{z^4}{4}+frac{x}{yz}+frac{y}{zx}+frac{z}{xy}

=frac{x^4}{4}+frac{y^4}{4}+frac{z^4}{4}+frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xyz}

Ta cóleft.begin{matrix} (x-y)^2 geq0\ (y-z)^2 geq0 \(z-x)^2 geq0 end{matrix}right} =>x^{2}+y^{2}+z^{2} geq xy+yz+zx. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

Suy ra Mgeqfrac{x^4}{4}+frac{y^4}{4}+frac{z^4}{4}+frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xyz}

            <=> Mgeq(frac{x^{4}}{4}+frac{1}{x})+ (frac{y^{4}}{4}+frac{1}{y})+ (frac{z^{4}}{4}+frac{1}{z})

Áp dụng bđt Cô si cho 5 số dương ta có

frac{x^{4}}{4}+frac{1}{x}=frac{x^{4}}{4}+frac{1}{4x}+frac{1}{4x}+frac{1}{4x}+frac{1}{4x} geq5sqrt[5]{frac{x^{4}}{4}frac{1}{4x}frac{1}{4x}frac{1}{4x}frac{1}{4x}}=frac{5}{4}

Dấu "=" xảy ra <=> frac{x^{4}}{4}=frac{1}{4x}<=>x=1

Chứng minh tương tự ta được frac{y^{4}}{4}+frac{1}{y} geqfrac{5}{4}. Dấu "=" xảy ra<=>frac{y^{4}}{4}=frac{1}{4y} <=>y=1

frac{z^{4}}{4}+frac{1}{z} geqfrac{5}{4}. Dấu "=" xảy ra <=>frac{z^{4}}{4}=frac{1}{4z}<=>z=1

Suy ra Mgeqfrac{15}{4}. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.

Vậy minM=frac{15}{4}. Đạt được khi x=y=z=1

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết