Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12306

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+3y^{2}}} - \frac{x-2y}{6(x+y)}.

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị l

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+3y^{2}}} - \frac{x-2y}{6(x+y)}.


A.
Giá trị lớn nhất của P là - \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{7}{30}.
B.
Giá trị lớn nhất của P là - \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.
C.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.
D.
Giá trị lớn nhất của P là \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{7}{30}.
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Do x > 0, y > 0, xy ≤ y -1 nên 0 < \frac{x}{y} ≤ \frac{y-1}{y^{2}} = \frac{1}{y} - \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{4}- (\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{2}})2 ≤ \frac{1}{4}.

Đặt t = \frac{x}{y}, suy ra 0 < t ≤ \frac{1}{4}. Khi đó P = \frac{t+1}{\sqrt{t^{2}-t+3}} - \frac{t-2}{6(t+1)}

Xét f(t) =\frac{t+1}{\sqrt{t^{2}-t+3}} - \frac{t-2}{6(t+1)}, với 0 < t ≤ \frac{1}{4}.

Ta có f’(t) = \frac{7-3t}{2\sqrt{(t^{2}-t+3)^{3}}} - \frac{1}{2(t+1)^{2}}.

Với 0 < t ≤ \frac{1}{4} ta có t2 – t + 3 = t(t -1) + 3  < 3; 7 – 3t > 6 và t + 1 > 1.

Do đó \frac{7-3t}{2\sqrt{(t^{2}-t+3)^{3}}}  > \frac{7-3t}{6\sqrt{3}}> \frac{1}{\sqrt{3}} và -\frac{1}{2(t+1)^{2}} > - \frac{1}{2}.

Suy ra f’(t) >\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2} > 0.

Do đó P = f(t) ≤ f(\frac{1}{4} ) = \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.

Khi x = \frac{1}{2} và  y = 2, ta có P =\frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.

Vậy giá trị lớn nhất của P là \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{7}{30}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết