Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 36471

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = \frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y}.

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = \frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y}.


A.
MinP = 8
B.
MinP = 7
C.
MinP = 6
D.
MinP = 5
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có P = \frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y} 

= \frac{x^{3}+(y+1)^{3}-[x^{2}+(y+1)^{2}]}{(x-1)y}. Đặt y + 1 = t. Điều kiện: t > 1

P = \frac{x^{3}+t^{3}-(x^{2}+t^{2})}{(x-1)(t-1)}. Đặt a = x + t, điều kiện a > 2

Đồng thời: (x + t)2 = a2 => 4xt ≤ a2⇔ xt ≤ \frac{a^{2}}{4}

=> P = \frac{x^{3}+t^{3}-(x^{2}+t^{2})}{(x-1)(t-1)} = \frac{a^{3}-a^{2}-xt(3a-2)}{xt-a+1}

=> P ≥ \frac{a^{3}-a^{2}-\frac{a^{2}}{4}(3a-2)}{\frac{a^{2}}{4}-a+1} = \frac{a^{2}}{a-2}

Xét hàm số: f(a) = \frac{a^{2}}{a-2}; f'(a) = \frac{a^{2}-4a}{(a-2)^{2}}; f'(a)= 0 ⇔ a = 4 hoặc a = 0 (loại)

Bảng biến thiên: 

Do đó MinP = min f(a)(2;+∞) = 8

Dấu = xảy ra khi  \left\{\begin{matrix} a=4\\ x=t \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1\\ x=2 \end{matrix}\right.

 

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết