Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 40364

Cho số thực a. Chứng minh rằng: \sqrt{2a^{2}-2a+1} + \sqrt{2a^{2}-(\sqrt{3}-1)a+1} + \sqrt{2a^{2}+(\sqrt{3}+1)a+1} ≥ 3

Cho số thực a. Chứng minh rằng: +  +  ≥ 3

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số thực a. Chứng minh rằng:

\sqrt{2a^{2}-2a+1} + \sqrt{2a^{2}-(\sqrt{3}-1)a+1} + \sqrt{2a^{2}+(\sqrt{3}+1)a+1} ≥ 3


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

\sqrt{2a^{2}-2a+1} + \sqrt{2a^{2}-(\sqrt{3}-1)a+1} + \sqrt{2a^{2}+(\sqrt{3}+1)a+1} ≥ 3

⇔ \sqrt{a^{2}+(a-1)^{2}} + \sqrt{\left ( a-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+\left ( a+\frac{1}{2} \right )^{2}} + \sqrt{\left ( a+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+\left ( a+\frac{1}{2} \right )^{2}} ≥ 3 (1)

Trong mặt phẳng Oxy, chọn A(0; 1), B(\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}), C(- \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}), M(a; a)

Khi đó, (1) ⇔ MA + MB + MC ≥ 3  (2)

Tam giác ABC đều tâm O và OA = OB = OC = 1

Suy ra (2) tương đương MA + MB + MC ≥ OA + OB + OC  (3)

Ta chứng minh (3).

Thực hiện phép quay tâm A góc 600.

C → C', M→M'

Suy ra MA = MM', MC = M'C'

Khi đó: MA + MB + MC = MB + MM' + M'C' ≥ BC' = OA + OB + OC

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M ≡ O ⇔ a = 0.

Ghi chú: có thể giải bằng phương pháp vec tơ, không dùng các bất đẳng thức không có trong sách giáo khoa để chứng minh.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết