Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 42293

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: \frac{(1+i)z}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i} có một acgumen bằng -\frac{\Pi }{6} và │z│=│2\bar{z} - √3 + i│. Tính mô đun của số phức z .

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: có một acgumen bằng  và │z│=│2 - √3 + i│. Tính

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: \frac{(1+i)z}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i} có một acgumen bằng -\frac{\Pi }{6} và │z│=│2\bar{z} - √3 + i│. Tính mô đun của số phức z .


A.
z = √3 + i
B.
z = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}i
C.
z = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{5}i
D.
cả A và B
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{1+i}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i} 

= \frac{1+i}{(1-\sqrt{3})^{2}+(1+\sqrt{3})^{2}}[(1 - √3) - (1 + √3)i]

= \frac{1-\sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\left - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{1}{2}\left[cos(- \frac{\Pi }{3}) + i.sin(- \frac{\Pi }{3})]

Đặt z = r(cos\varphi + isin\varphi); r > 0

Khi đó: \frac{1+i}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i}z=\frac{r}{2}\left [ cos\left ( \varphi -\frac{\Pi }{3} \right )+isin\left ( \varphi -\frac{\Pi }{3} \right ) \right ]

Theo đề bài ta có: \varphi -\frac{\Pi }{3}=-\frac{\Pi }{6}\Rightarrow z=\frac{r.\sqrt{3}}{2}+\frac{r}{2}i

Từ giả thiết của bài toán ta có: \left | \frac{r\sqrt{3}}{2}+\frac{r}{2}i \right |=\left | \sqrt{3}r-ri-\sqrt{3}+i \right |

<=> \left ( \frac{\sqrt{3}r}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{r}{2} \right )^{2} = 3.(r  - 1)2 +  (r  - 1)2 <=> \begin{bmatrix} r=2\\ r=\frac{2}{3} \end{matrix} 

Vậy có 2 số phức z = √3 + i hoặc z = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}i

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết