Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 64648

Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. cạnh huyền BC = \dpi{100} a\sqrt{2}; cạnh bên AA'= 2a, biết A' cách đều các đỉnh A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA', AC. Tính thể tích khối chóp C'MNB và khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (MNB).

Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. cạnh huyền BC = ; cạnh

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. cạnh huyền BC = \dpi{100} a\sqrt{2}; cạnh bên AA'= 2a, biết A' cách đều các đỉnh A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA', AC. Tính thể tích khối chóp C'MNB và khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (MNB).


A.
\dpi{100} V_{C'MNB}=\frac{\sqrt{14}a^{3}}{16}; \dpi{100} d_{C',(BMN)}=\frac{a\sqrt{14}}{4\sqrt{71}}
B.
\dpi{100} V_{C'MNB}=\frac{\sqrt{14}a^{3}}{8};\dpi{100} d_{C',(BMN)}=\frac{a\sqrt{14}}{4\sqrt{71}}
C.
\dpi{100} V_{C'MNB}=\frac{\sqrt{14}a^{3}}{8}; \dpi{100} d_{C',(BMN)}=\frac{3a\sqrt{14}}{4\sqrt{71}}
D.
\dpi{100} V_{C'MNB}=\frac{\sqrt{14}a^{3}}{16}; \dpi{100} d_{C',(BMN)}=\frac{3a\sqrt{14}}{4\sqrt{71}}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

- Tính thể tích:

Vì A' cách đều A, B, C nên chân đường cao hạ từ A' lên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi H là trung điểm của BC suy ra A'H ⊥(ABC)

Gọi K = MN ∩ AC' => AK = \dpi{100} \frac{1}{3}C'K

=> \dpi{100} V_{C'MNB}=3V_{AMNB}

Gọi E là trung điểm của AH => ME ⊥ (ABC)

=> \dpi{100} V_{MANB}=\frac{1}{3}ME.dt(ANB)

Tính được:

ME = \dpi{100} \frac{1}{2}A'H= \dpi{100} \frac{1}{2}\frac{a\sqrt{14}}{2}=\frac{a\sqrt{14}}{4}

=> \dpi{100} V_{MANB}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{14}}{4}.\frac{a^{2}}{4}=\frac{\sqrt{14}a^{3}}{48}

Vậy \dpi{100} V_{C'MNB}=\frac{\sqrt{14}a^{3}}{16}

- Tính khoảng cách:

\dpi{100} d_{(C',(BMN))}=3d_{(A,(BMN))}

Gọi F là trọng tâm tam giác ABC

Ta có: AE = \dpi{100} \frac{1}{2}AH=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}AF=\frac{3}{4}AF;

\dpi{100} EF= \frac{1}{4}AF

=> \dpi{100} d_{(A,(BMN))}=3d_{E,(BMN)}

Hạ EP ⊥ BN

EQ ⊥ MP

=> EQ ⊥ (MNB)

=> \dpi{100} d_{E,(MNB)}=EQ= \frac{EP.EM}{\sqrt{EP^{2}+EM^{2}}}

Ta có: tam giác EPF đồng dạng với tam giác BHF

=> \dpi{100} \frac{EP}{BH}=\frac{EF}{BF}

=> \dpi{100} EP=\frac{BH.EF}{BF}

Tính được: \dpi{100} BH = \frac{a\sqrt{2}}{2}; \dpi{100} EF=\frac{1}{4}AF=\frac{1}{4}.\frac{2}{3}.AH=\frac{1}{6}AH=\frac{a\sqrt{2}}{12}; BF=\frac{a\sqrt{5}}{3}

=> \dpi{100} EP =\frac{a\sqrt{5}}{20}

=> \dpi{100} EQ= \frac{EP.EM}{\sqrt{EP^{2}+EM^{2}}}=\frac{a\sqrt{14}}{4\sqrt{71}}

=> \dpi{100} d_{(C',(BMN))}=3d_{(A,(BMN))} \dpi{100} =12d_{E,(BMN)}=\frac{3a\sqrt{14}}{4\sqrt{71}}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết