Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16033

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a√3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB,AC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a√3, SA vuông góc vớ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a√3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB,AC.


A.
V=frac{sqrt{3}a^{3}}{6}, cos(SB,AC)=frac{sqrt{2}}{4}
B.
V=frac{sqrt{3}a^{3}}{6}, cos(SB,AC)= -frac{sqrt{2}}{4}
C.
V=frac{sqrt{3}a^{3}}{2}, cos(SB,AC)=frac{sqrt{2}}{2}
D.
V=frac{sqrt{3}a^{3}}{2}, cos(SB,AC)=frac{1}{2}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

+ Tính VSACD

Có S∆ACD =frac{1}{2}DA.DC=frac{1}{2}a2

h=SA=a√3 (Vì SA vuông góc với đáy)

=> V=frac{1}{3}.SA.S∆ACD=frac{1}{3}a√3.frac{1}{2}a2=frac{sqrt{3}a^{3}}{6} (đvtt)

+ Tính cosin góc giữa SB và AC

-Từ O (giao 2 đường chéo AC và BD) kẻ OM//SB

=> Góc giữa hai đường thẳng SB và AC bằng góc giữa hai đường thẳng OM và AC

-Xét tam giác COM

Có OM=frac{1}{2}SB=frac{1}{2}sqrt{SA^{2}+AB^{2}}

=frac{1}{2}sqrt{(asqrt{3})^{2}+a^{2}}=a (Vì OM là đường trung bình của tam giác SBD)

OC=frac{1}{2}AC=frac{asqrt{2}}{2}

Có CD⊥AD, CD⊥SA => CD⊥(SAD) => CD⊥SD

=> Tam giác COM vuông tại D

Có MD=frac{1}{2}SD=frac{1}{2}sqrt{SA^{2}+AD^{2}}=frac{1}{2}sqrt{(asqrt{3})^{2}+a^{2}}=a

=> CM=sqrt{DC^{2}+DM^{2}}=sqrt{a^{2}+a^{2}}=a√2

=> Cos(widehat{COM})=frac{OM^{2}+OC^{2}-CM^{2}}{2OM.OC}

=frac{a^{2}+(frac{asqrt{2}}{2})^{2}-(asqrt{2})^{2}}{2a.frac{asqrt{2}}{2}} = -frac{sqrt{2}}{4}

=> cos(widehat{SB,AC})=frac{sqrt{2}}{4}

VSACD

Câu hỏi liên quan

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết