Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 34895

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BDa. Trên cạnh AB lấy điểm M sao choBM 2AM. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BDa. Trên cạnh AB lấy

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BDa. Trên cạnh AB lấy điểm M sao choBM 2AM. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA.


A.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{12}{\sqrt{273}}
B.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{5}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{12}{\sqrt{273}}
C.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{5}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{12}{\sqrt{279}}
D.
V_{S.ABCD}=\frac{a^{5}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{15}{\sqrt{279}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H = AC \cap DM vì (SAC) \perp (ABCD), (SDM) \perp (ABCD) => SH \perp (ABCD)

Từ H kẻ HK \perp AB => SK\perp AB => \widehat{SKH}=60^{0}  là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)

Do AM//CD \Rightarrow \frac{HA}{HC}=\frac{AM}{CD}=\frac{1}{3}\Rightarrow AH=\frac{1}{4}AC=\frac{AO}{2}

MÀ \DeltaABD đều, AO là đường cao:

\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow HK=AH.sin\widehat{HAK}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{8}

\Rightarrow SH=HK. tan600= \frac{3a}{8}

Vậy V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{8}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}

Ta có: cos(OM;SA)=\frac{\left | \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{SA} \right |}{\left |\left | \overrightarrow{OM} \right |}\left |\overrightarrow{SA} \right |

Mà \left | \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{SA} \right |=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM})(\overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HA})

=\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}AO^{2}-AM.AH.cos30^{0}

=\frac{1}{2}.\left ( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right )^{2}-\frac{a}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}}{4}

Vậy cos(OM;SA)=\frac{\frac{a^{2}}{4}}{\frac{a\sqrt{13}}{6}.\frac{a\sqrt{21}}{8}}=\frac{12}{\sqrt{273}}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết